2. Растяжения и сжатия. Определение внутренних усилий, напряжений, перемещений.

Растяжение (сжатие) – простой вид сопротивления, при котором стержень нагружен силами, параллельными продольной оси стержня и приложенными в центр тяжести его сечения.

Используя метод мысленных сечений, определим внутренние усилия в растянутом стержне:

а) стержень, нагруженный растягивающими силами F и находящийся в равновесии, рассекаем произвольным сечением;

б) отбрасываем одну из частей стержня, а ее действие на другую часть компенсируем внутренними усилиями, интенсивностью σ;

в) осевое внутреннее усилие N, возникающее в сечении стержня, определим, составляя уравнения равновесия для отсеченной части:

N F =∑ x.

Проецируя внешнюю силу F, действующую на отсеченную часть стержня, на другие оси (y и z), а также составляя уравнения моментов относительно координатных осей, легко убедится, что осевое усилие N является единственным внутренним усилием, возникающим в сечении стержня (остальные тождественно равны нулю). Таким образом, при растяжении (сжатии) из шести внутренних усилий в сечении стержня возникает только одно – осевое усилие N.

Нормальные напряжения σx, возникающие в сечении стержня, связаны с осевым усилием N следующим образом: σ _х=dN/dA

Учитывая, что в соответствии с гипотезой Бернулли напряжения равномерно распределены по поперечному сечению (т. е. σx =const), можно записать: N =σ _х*А.

Таким образом, нормальные напряжения при растяжении (сжатии) определяются как σ _х= N/А.

3. Определение напряжений в наклонных сечениях. Определение главных напряжений и главных площадок.

Если растягиваемый брус разрезать косо, то в наклонном сечении будут и нормальные и касательные напряжения (рис. 2.7). Определим их величину. Полные напряжения в наклонном сечении определятся по формуле:                        

р =F/A,

где F_n  - растягивающая сила;  А_φ  - площадь наклонного сечения.

Но А_φ  = А / cos φ   ,  где А - площадь поперечного сечения, φ  - угол между поперечным и наклонным сечениями. Тогда                 

                          р =  = σ  cos φ.

                                                        Поскольку полные напряжения  р  можно разложить на нормальные и касательные напряжения, то

                                                                  σ_φ  = рcos φ  = σ cos² φ

                                                      τ_φ  = р sin φ  = σ sin φ  cos φ = σ  sin 2φ /2.

                    

                                              При φ  = 45°  σ_φ  = τ_φ  = σ/2

 Максимального значения нормальные напряжения достигают при  φ = 0, т.е. в поперечных сечениях  σ_φ = σ, касательные  - при  φ = 45°. При φ = 90° σ_φ = 0, τ_φ  = 0 .

В продольных сечениях бруса нет ни касательных, ни нормальных напря-жений.

Площадки, в которых касательные напряжения равны нулю, называются

г л а в н ы м и  п л о щ а д к а м и, а возникающие в них нормальные напряжения – г л а в н ы м и  н а п р я ж е н и я м и.

Теория упругости  доказывает, что в общем случае напряженого состояния в зоне исследуемой точки могут существовать три взаимно перпендикулярные главные площадки. В зависимости от количества таких площадок  (σ ≠ 0) различают три основных вида напряженого состояния:  л и н е й н о е  (одноосное), п л о с к о е (двухосное) и  о б ъ е м н о е (трехосное). В дальнейшем нас будут интересовать только первые два вида напряженного состояния.