Серия 18. Набиваем руку.

0. Лиза нарисовала на доске семь котиков. Потом в аудиторию пришли 33 ЮМШовца. Каждый из них или стёр одного котика, или дорисовал нового. Могло ли в конце остаться три котика?

1. Не вычисляя произведения 2013 · 15 · 77, определите, делится ли оно на 2, 3, 9, 35, 55, 80, 6039.

2. Мария Михайловна написала на доске 50 чисел. Игорь заметил, что сумма любых 49 чисел нечётна. Чётна или нечётна сумма всех чисел?

3. Найдите последнюю цифру числа а) 2001²ºº¹; б) 549⁴⁹; в) 345673³⁷⁶⁵⁴³; г) .

4. В последовательности цифр каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы четырех предыдущих. Последовательность начинается с цифр 1234096. Может ли в ней встретиться комбинация цифр 1999?

5. Найдите две последние цифры числа а) 1999²⁰⁰⁰; б) 16²⁰⁰⁰.

6. а) Докажите, что найдется число вида 111…11000..00, делящееся на 2013. б) Докажите, что найдется число, состоящее из одних единиц, делящееся на 2013.

7. На сколько нулей заканчивается число 1000! ?

8. Найдите последнюю ненулевую цифру числа 1000!.

9. натуральное число делится на 42. Сумма цифр не вошедших в него равна 25. Докажите, что в этом числе есть повторяющиеся цифры.

10. Будем говорить, что натуральное число а загадочнее числа b, если при делении 839 на а получается остаток b. Докажите, что не существует 10 пордяд идущих натуральных чисел, каждое из которых загадочнее предыдущего

Серия 19. Формула Пика.

Вершины многоугольника расположены в узлах клетчатой бумаги. Внутри него лежит n узлов, а на границе m узлов. Тогда площадь этого многоугольника равна n + m/2 – 1.

1. Проверьте формулу Пика для прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки.

2. Докажите формулу Пика для многоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки.

3. Докажите формулу Пика для прямоугольного треугольника с катетами, на линиям сетки.

4. Докажите формулу Пика для многоугольника, составленного из двух многоугольников, для которых формула Пика уже доказана.

5. Пусть многоугольник, для которого формула Пика уже проверена, составлен из двух многоугольников. Докажите, что если формула Пика выполняется для одного из них, то она выполняется и для другого.

6. Использовав пункты 3 и 5, докажите формулу Пика для произвольного треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги.

7. Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники.

8. Докажите, что любой (не обязательно выпуклый) многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники.

9. Докажите формулу Пика для произвольного многоугольника.

Серия 20. Десятичная запись числа.

1. В числе 513879406 вычеркните 4 цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили наибольшее число; наименьшее число.

1. Может ли двузначное число равняться сумме своих цифр?

2. Найдите все четырехзначные числа, две средние цифры которых образуют число, в 5 раз большее числа тысяч и в 3 раза большее числа единиц.

3. Шифр замка – автомата ­– семизначное число, три первые цифры которого одинаковые, остальные четыре цифры так же одинаковые. Сумма все цифр этого числа – число двузначное, первая цифра которого совпадает с первой цифрой шифра, а последняя - с последней. Найдите этот шифр.

4. Андрея попросили назвать номер квартиры, которую получила его семья в новом доме. Он ответил, что этот номер выражается числом, которое в семнадцать раз больше числа, стоящего в разряде единиц номера. Каков же номер этой квартиры?

5. Из пятизначного числа вычли такое же, но записанное в обратном порядке. Докажите, что получившееся число делится на 11.

6. Найдите число, сумма цифр которого равна разности между 328 и искомым числом.

7. Используя каждую из девяти цифр 1,2,…,9 по одному разу, запишите три такие числа, чтобы сумма их была наибольшей из всех возможных, а разность при этом между большим и меньшим числами была как можно меньше. Найдите эту сумму и разность.

8. Известно, что число, выражающее количество учащихся, является наибольшим из всех таких чисел, у которых любые две соседние цифры образуют каждый раз число, делящееся без остатка на 23. Найдите его.

Серия 21. С праздником Весны!

Или просто «Сколько?»

1. В классе мальчики дарили девочкам цветы. Известно, что каждый из 18 мальчиков принес 6 цветков. Сколько девочек в классе, если каждая в результате стала обладательницей букета из 9 цветов?

2. Сколько способов добраться из города A в город C, если нельзя дважды посещать один город?

а) б) в)

3. У людоеда в подвале томятся 25 пленников.

   1. Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?

   2. А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

4. С колькими способами можно прочитать в таблице слово а) КРОНА; б) КОРЕНЬ, начиная с буквы «K» и двигаясь вправо или вниз?

5. Сколькими способами можно расселить 9 человек в три комнаты: трехместную, двухместную и четырехместную?

6. Есть 6 мальчиков и 6 девочек, детей расставляют по кругу так, чтобы мальчики и девочки чередовались. Сколько способов их расставить, если

   1. надо расставить всех 12 детей;

   2. надо расставить каких-то 8 детей.

7. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ПЕЛИКАН», чтобы гласные буквы стояли в алфавитном порядке?

8. На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой – 11 точек. Сколько существует

   1. треугольников с вершинами в этих точках;

   2. четырехугольников с вершинами в этих точках?

9. Можно ли шесть разновесных одинаковых по виду гирек гарантировано расположить в порядке возрастания за пять взвешиваний?

Серия 22. Да здравствует индукция!

И никак иначе!

10. Н еравенство треугольника гласит, что для любых трёх точек A₁, A₂, A₃ выполнено: A₁A₂ + A₂A₃ ≥ A₁A₃. Докажите, что для любого n длина n-звенной ломаной не меньше длины отрезка между её концами.

11. Докажите, что любую сумму, начиная с 8 тугриков, можно выплатить купюрами по 3 тугрика и 5 тугриков.

12. Докажите, что для любого n верна формула: 1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6.

13. У  бородатого многоугольника во внешнюю сторону растет щетина. Его пересекает n прямых, на каждой из которых с одной из сторон тоже растет щетина. В результате многоугольник оказался разбитым на некоторое число частей. Докажите, что хотя бы одна из частей окажется бородатой снаружи. 

14. Плоскость поделена на области несколькими прямыми. Докажите, что эти области можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в различные цвета. (Соседними считаются области, имеющие общий участок границы.)

15. На доске написаны сто цифр: нули и единицы (в произвольной комбинации). Разрешается выполнять две операции: (1) заменять первую цифру (нуль на единицу и наоборот); (2) заменять цифру, стоящую после первой единицы. Например, в последовательности 0011001... можно заменить первую цифру или четвёртую. Докажите, что с помощью нескольких таких замен можно получить любую комбинацию из ста нулей и единиц.

16. Незнайке сообщили некоторое число a. Он вычислил n чисел: a+a^-1, a²+a^-2, a³+a^-3, …, aⁿ+a^-n и все они оказались целыми. Незнайка очень устал. Помогите ему доказать, что aⁿ⁺¹+a^-n-1 тоже целое.