3. Методы описания движения

Для математического описания движения жидкости используются два различных метода (подхода): Лагранжа и Эйлера.

При лагранжевом подходе непрерывный поток жидкости рас-сматривается как движение множества жидких частиц. Для описания перемещения в пространстве отдельной жидкой частицы ее рассматривают как материальную точку, положение которой в данный момент времени t может быть выражено в координатной форме:

x=x(t), y=y(t), z=z(t).                                           (2.1)

В сплошном потоке имеется континуум таких частиц, которые надо как-то выделить (индивидуализировать). Для этого можно в выражение закона движения точки (2.1) добавить в качестве аргументов в общем случае 3 параметра a, b и c – например, значения координат частицы в начальный момент времени. Тогда вместо (2.1) следует записать

x=x(t,a,b,c), y=y(t,a,b,c), z=z(t,a,b,c).                            (2.2)

Параметры  a, b, с называются переменными Лагранжа. Если они фиксированы, то соотношения (2.2) выражают закон движения выделенной жидкой частицы; при изменении этих параметров осуществляется переход от одной частицы к другой и таким образом достигается описание движения всей массы жидкости в целом.

Мгновенная скорость жидкой частицы V может быть представлена своими составляющими в декартовой системе координат

, , .                                      (2.3)

Абсолютная величина (модуль) скорости при этом определяется как .

Другой прием описания движения жидкости, получивший более широкое распространение, был предложен Эйлером. Он основан на понятии местной скорости или скорости в точке. Этим термином обозначают скорость жидкой частицы, находящейся в выбранной точке области течения в данный момент времени. В общем случае местные скорости различны в один и тот же момент времени в различных точках, а также могут изменяться во времени в каждой фиксированной точке. Таким образом, проекции скорости в общем случае могут быть представлены как

u=u(x,y,z,t), v=v(x,y,z,t), w=w(x,y,z,t).                          (2.4)

Этими функциями характеризуется поле скоростей жидкости, т.е. совокупность значений вектора скорости V(u,v,w), определенного в каждой точке области течения. В выражениях (2.3) параметры  x, y, z, t  называются переменными Эйлера.

Ускорение жидкой частицы может быть выражено при комбинации методов Эйлера и Лагранжа:

                     (2.5)

где  – оператор Гамильтона или набла-оператор. В (2.5) вектор  называется локальным ускорением, а вектор – конвективным ускорением.

В скалярной форме составляющие вектора ускорения    по осям декартовой системы координат имеют вид

3. Виды движения

Течение жидкости вообще может быть неустановившимся (нестационарным) или установившимся (стационарным).

Н еустановившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени изменяются, т.е. u и P зависят не только от координат точки в потоке, но и от момента времени, в который определяются характеристики движения т.е.:

и .

Примером неустановившегося движения может являться вытекание жидкости из опорожняющегося сосуда, при котором уровень жидкости в сосуде постепенно меняется (уменьшается) по мере вытекания жидкости.

У становившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени не изменяются, т.е. u и P зависят только от координат точки в потоке, но не зависят от момента времени, в который определяются характеристики движения:

и ,

и, следовательно, , , , .

                               (2.52)

Пример установившегося движения - вытекание жидкости из сосуда с постоянным уровнем, который не меняется (остаётся постоянным) по мере вытекания жидкости.

В случае установившегося течения в процессе движения любая частица, попадая в заданное, относительно твёрдых стенок, место потока, всегда имеет одинаковые параметры движения. Следовательно, каждая частица движется по определённой траектории.

Вихревое движение — движение жидкости или газа, при котором мгновенная скорость вращения элементарных объемов среды не равна нулю и всюду тождественна. Количественной мерой завихренности служит вектор , где v — скорость жидкости; ω называют вектором вихря или просто завихренностью. Эквивалентной мерой завихренности, более удобной в теоретических построениях, является антисимметричная часть тензора градиента скорости . В декартовых координатах x₁,x₂,x₃ связь компонент вектора ω и тензора Ω дается выражениями