3. Свойства давления в точке покоящейся жидкости.

Давление в точке покоящейся жидкости обладает двумя основными свойствами.

Первое. Давление в точке покоящейся жидкости всегда нормально к поверхности (площадке), воспринимающей это давление. Это свойство не требует доказательств, так как оно очевидно из сказанного о ∆P.

Второе. Давление в точке покоящейся жидкости во всех направлениях одинаково по значению, т.е. является скаляром.

3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости в двух формах.

Леонардом Эйлером в 1755 г. были получены дифференциальные уравнения равновесия жидкости

 

(2.1)

где – градиенты давления в направлении соответствующих координатных осей; X, Y, Z – проекции единичных массовых сил на соответствующие оси; r – плотность.

После незначительных преобразований данную систему уравнений можно представить в виде уравнения:

 

(2.2)

Полученное уравнение (2.2) выражает приращение давления dp при изменении координат на dx, dy, dz в общем случае равновесия жидкости.

Поверхность жидкости, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью равного давления, или поверхностью уровня. Для поверхности равного давления , а с учетом, что , уравнение (2.2) примет вид

(2.3)

 

Уравнение (2.3) устанавливает связь между координатами свободной поверхности и действующими на жидкость массовыми силами, единичные проекции которых равны X, Y, Z.

Поверхности уровня жидкостей, соприкасающиеся с газообразной средой (чаще атмосферной), называются свободными поверхностями.

Комбинация массовых сил, действующих на жидкость, может быть разной. Если жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно Земли (т. е. вращением жидкости вместе с Землей можно пренебречь), то такое равновесное состояние жидкости можно назвать абсолютным покоем. При абсолютном покое жидкость находится под действием лишь одной массовой силы – силы тяжести.

Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на жидкость кроме сил тяжести действуют силы инерции.

Силы инерции могут быть постоянны по времени, поэтому равновесие жидкости в этом случае называется относительным покоем.

При относительном покое свободная поверхность жидкости, или поверхность уровня, принимает другие формы по сравнению с формой при абсолютном покое.

3. Относительный покой жидкости.

Жидкость, заключенная в неподвижный резервуар и находящаяся в равновесии под действием силы тяжести, пребывает в абсолютном покое относительно Земли. Жидкость может находиться в равновесии и при действии помимо собственного веса других внешних сил, в том числе и сил инерции. Жидкое тело в таком случае будет находиться в относительном покое. Следует при этом иметь в виду, что жидкость, начавшая двигаться из состояния абсолютного покоя, приходит в состояние относительного покоя не сразу и переход из одного состояния в другое происходит под влиянием сил трения. В самом состоянии относительного покоя силы трения отсутствуют. В качестве примера рассмотрим равновесие жидкости в движущейся цистерне, вращающемся сосуде и движущемся по наклонной плоскости резервуаре Если цистерна движется прямолинейно и равноускоренно по горизонтальной поверхности, то жидкость находится в покое относительно этой цистерны.

Жидкость находится в равновесии в резервуаре в поле действия только силы тяжести (а).

В этом случае проекции результирующей единичных массовых сил будут: X=0, Y=0, Z=-g. Подставляя эти значения в уравнение поверхности равного давления, получим –g dz=0, или после интегрирования

gz=const.

Это уравнение горизонтальной плоскости. Следовательно, в покоящейся однородной жидкости (ρ=idem).

Жидкость находится в равновесии в резервуаре, движущемся горизонтально с некоторым ускорением а (б)

В этом случае любая частица жидкости находится под действием ускорений a и g, следовательно, проекции результирующей единичных массовых сил будут:

X=j_x=-a, Y=j_y=0, Z=j_z=-g.

Подставляя эти значения в уравнение, получим –adx-gdx=0, или после интегрирования ax+gz=const.

Это уравнение наклонной плоскости. Следовательно, в данном случае поверхности равного давления представляют собой плоскости, наклонные к осям Ох и Oz и параллельные оси Oy. Угол наклона плоскости к горизонту может быть найден из выражения β=arctg(a/g).

Жидкость находится в равновесии в цилиндрическом резервуаре, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ῳ.

В этом случае любая частица жидкости находится под действием ускорений силы тяжести g и центробежной силы инерции ῳ²r, следовательно проекции результирующей ед массовых сил будут X=j_x= ῳ²x, Y=j_y= ῳ²y, Z=j_z=-g. Подставляя эти значения в уравнение, получим ῳ²xdx+ ῳ²ydy-gdz=0 или после интегрирования

ῳ²x²/2+ ῳ²y²/2-gz=const, но так как x²+y²=r², то

ῳ²r²/2-gz=const.

Это уравнение параболоида вращения. Следовательно, в данном случае поверхности равного давления представляют собой семейство параболоидов вращения вокруг вертикальной оси. При сечении их вертикальной плоскостью получится семейство парабол с вершинами на оси Oz, а при сечении горизонтальной плоскостью – семейство концентрических окружностей с ценром на оси Oz.