3. Принципы моделирования механических систем.

Краеугольным камнем динамической модели любой механической системы является второй закон Ньютона.

Для применения закона Ньютона необходимо задать некоторую систему отсчета относительно которой будут определяться положение, скорость и ускорение. Пусть вектор F – сумма всех сил, действующих на тело, m – масса тела, а вектор z характеризует его положение. Ускорение a – вектор с тем же направлением, что и вектор F. Уравнение баланса сил имеет вид:

(4.5)

В действительности Ньютон сформулировал своё утверждение относительно импульса m∙υ следующим образом:

(4.6)

Второй закон Ньютона можно записать как систему дифференциальных уравнений первого порядка, в форме так называемых уравнений состояния. При прямолинейном движении координата z и скорость υ выражаются как скаляры:

(4.7)

и

Более общая форма уравнений динамики – это уравнения Лагранжа.

Закон Ньютона для систем вращения имеет вид:

(4.8)

где Т – сумма всех моментов, действующих на тело, J – момент инерции и ω – угловая скорость (рисунок 4.2). Часто J – непостоянная величина, например, при работе промышленного робота или прокатного стана, и нужно учитывать его зависимость от времени.

Рисунок 4.2 – Закон Ньютона для вращения

Если ввести понятие угла поворота ε, то динамику вращения можно описать в форме уравнений состояния. При этом полагают, что известно направление вращения и что величина J постоянна. Тогда дифференциальные уравнения записываются в виде:

(4.9)

и

Уравнения Лагранжа являются обобщенной формой кона Ньютона. Существуют деформируемые механические системы, например, крыло самолета при Движении которых могут появляться нежелательные колебания такие динамические системы, вообще говоря, очень сложны для управления.

4. Принципы моделирования электромагнитных цепей.

Законы Кирхгоффа описывают связь между напряжениями и токами в электрической цепи. Электрические цепи образуются ветвями и узлами. Ветвь (branch) определяется как проводник или элемент с двумя концами. Элемент ветви может быть пассивным, т е. сохраняющим или потребляющим ток, или активным, т. е. генерирующим напряжение или ток. Узел (node) – это точка, в которое соединяются три или более ветвей. В узле ток может иметь более чем один путь.

Закон Кирхгоффа для тока – сумма всех токов в любом узле равна нулю.

Закон Кирхгоффа для напряжений – сумма падений напряжения по любому замкнутому контуру равна нулю.

Конденсатор в цепи накапливает электрический заряд, т. е. энергия сохраняется в электрическом поле. Ток, текущий через конденсатор, пропорционален производной от напряжения на конденсаторе по времени: , где С – емкость конденсатора.

Рассмотрим простую резистивно-емкостную (RС) цепь (рисунок 4.3) и проанализируем зависимость напряжения на конденсаторе от напряжения источника.

П осле исключения тока i из дифференциального уравнения, имеем: . Это дифференциальное уравнение первого порядка характеризуется постоянной времени (time constant):

Если начальное напряжение на конденсаторе равно нулю, то скачок входного напряжения U_i вызовет экспоненциальный рост напряжения на конденсаторе:

На рисунке 4.4 показаны переходные процессы (transient response) в RC-цепи для различных значений постоянной времени – с ростом T реакция процесса замедляется.

В электронике и технике связи обычной практикой анализа систем является использование синусоидального входного сигнала. Выходной сигнал имеет такую же частоту, что и входной, но другие амплитуду и фазу:

(4.17)

г

(4.18)

де и

С ростом частоты амплитуда выходного напряжения падает и все больше и больше отстает по фазе. Цепь с такими свойствами называется низкочастот­ным фильтром (low-pass filter), поскольку она пропускает низкие, но гасит вы­сокие частоты. При изменении магнитного поля во времени возникает электрическое поле. Это – закон Фарадея (закон электромагнитной индукции), который описывается одним из уравнений Максвелла. Соотношение между магнитной индукцией В и напряженностью магнитного поля H определяется свойствами среды: , где μ – магнитная проницаемость материала. В ферромагнитных материалах проницаемость непостоянна и для больших значе­ний H величина магнитного потока Ф, пропорциональная магнитной индукции B будет достигать насыщения. Часто при описании магнитных цепей необходимо учитывать явление гистерези­са, из-за которого магнитная индукция не только функция тока, но и зависит от предыстории намагничивания.