Цепь с активным сопротивлением

Для схемы такой цепи (рис. 1) задано сопротивление R и напряжение, изменяющееся согласно уравнению u= U_m sin ωt.

Требуется определить ток и мощность цепи.

Для мгновенных значений напряжения и тока по закону Ома i=u/R=( U_m sin ωt)/R=I_msin ωt , где I_m= U_m/R - амплитуда тока.

Действующее значение тока I=U/R.

Из сравнения уравнений u= U_m sin ωt и i=I_m sin ωt видно, что между током и напряжением нет сдвига фаз, поэтому векторная диаграмма будет выглядеть следующим образом:

При непрерывном изменении напряжения и тока мощность изменяется согласно уравнению

p= ui= U_m sin ωt I_m sin ωt= U_m I_m sin² ωt

Из тригонометрии: sin² ωt= (1-cos 2ωt )/2; cos 2ωt =sin(2ωt -л/2).

Учитывая эти выражения и то, что U_mI_m /2 = U I, получим уравнение мгновенной мощности в виде p=UI+UI sin (2ωt - л/2 ).

Наглядное представление о характере изменения мощности дает график на рис. 2 , который построен после умножения ординат кривых напряжений и тока, соответствующих ряду значений их общего аргумента - времени t.

Из графика видно, что мощность в течение периода Т остается положительной, хотя напряжение и ток меняют свой знак. Это говорит о том, что направление потока энергии в течение периода остается одинаковым, в данном случае от сети (от источника энергии) к приемнику с сопротивлением R, где электрическая энергия преобразуется в другой вид энергии. Электрическая энергия в этом случае называется активной.

В качестве характеристики энергетического процесса в цепи переменного тока определяют среднюю мощность за период Р (t), которую называют активной . Активная мощность характеризует среднюю скорость необратимого преобразования электрической энергии в тепловую, механическую... и другие виды энергии.

Р=UI=I²R=U²/R , Ватт (Вт)

Пример 1 (5.8). К резистору сопротивлением R= 1,5 кОм приложено напряжение

u=120sin (ωt-π/6) В. Записать выражение для мгновенного значения тока i, определить его амплитудное I_m и действующее I значения, мощность P. Построить векторную диаграмму для момента времени t=0.

Решение

1. По закону Ома I_m=U_m/R=120/1500=0,08A

2. I= I_m/2^1/2= 0,08/1.414=0,057A

3. P=UI=U_mI_m/2=120·0,08/2=4,8 Вт

4. При активном сопротивлении сдвига фаз между током и напряжением нет, поэтому i=0,08sin (ωt-π/6)

5. Для момента времени t=0 мгновенные значения

u=-120sin(π/6) i=-0,08sin (π/6). Векторная диаграмма представлена на рисунке.

Цепи с реактивным сопротивлением

Рассмотрим идеализированные цепи: цепь с индуктивной катушкой без потерь энергии (индуктивность L, активное сопротивление R = О); цепь с конденсатором без потерь энергии (емкость С, активная проводимость G = О).

1. Цепь с индуктивной катушкой Для схемы такой цепи (рис. 3) задано индуктивность L, ток, изменяющийся по закону i=I_m sin ωt.

Требуется определить напряжение на зажимах катушки и мощность цепи .

При изменении тока в катушке наводится э.д.с. самоиндукции e_L= -Ldi/dt. Если R = 0, приложенное к катушке напряжение уравновешивается только э.д.с. самоиндукции, поэтому u=Ldi/dt=LI_mωcos ωt=LI_mω sin( ωt+π/2) , u=U_msin (ωt+π/2), где U_m=LωI_m - амплитудное значение напряжения.

Величину Lω – обозначают X_L и называют индуктивным сопротивлением.

X_L= Lω U_m=I_mX_L U=IX_L

Из сравнения уравнений u= U_m sin( ωt+π/2) и i=I_m sin ωt видно, что между током и напряжением существует сдвиг фаз. Напряжение опережает ток на π/2 (90⁰), поэтому векторная диаграмма будет выглядеть следующим образом:

Мгновенная мощность цепи с индуктивностью

p= ui= U_m sin ( ωt+π/2) · I_m sin ωt= (U_m I_m sin 2ωt)/2=UI sin 2ωt

Из уравнения видно, что мощность изменяется с двойной ч астотой (рис.4). В течение первой и третьей четвертей периода цепь с индуктивностью работает в режиме потребителя , запасая энергию, а в течение второй и четвертой четвертей — в режиме генератора, возвращая обратно запасенную ею энергию. Следовательно средняя (активная ) мощность Р=0. В рассматриваемой цепи происходит только периодический обмен энергией между источником питания и магнитным полем цепи без необратимого преобразования электрической энергии, например, в тепловую, механическую или химическую.

Энергию, которой обмениваются источник питания и цепь с индуктивным сопротивлением характеризуют максимальным значением мгновенной мощности цепи и называют ее реактивной индуктивной мощностью Q_L: Q_L=UI= X_LI². Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (вар).

Пример 2 (5.23) : через катушку индуктивности сопротивлением X_L=1,2 Ом проходит переменный ток частотой f=800 Гц и амплитудным значением Im=450 мА. Определить индуктивность катушки L, действующее значение напряжения на ней U, а также реактивную мощность Q_L. Записать выражение для мгновенного значения напряжения на катушке u.

Решение:

1. Из формулы X_L= Lω = L2πf находим индуктивность L = X_L/ (2πf)

ω =2πf = 2·3.14·800=5024с^-1 ; L = 1.2/ 5024=0.24 мГн

2. По закону Ома U_m=I_m X_L = 0.45·1.2=0.54 B

3. U=Um/2^1/2=0.54/1.41=0.38 B

4. Q_L=UI= UI_m/2^1/2 = U_mI_m/2=0.54·0.45/2=0.12вар

5. Напряжение опережает ток на π/2 (90⁰) , поэтому

u=U_msin (ωt+π/2)= 0.54sin (5024t+π/2)