Резонансы в электрических цепях

Резонансы возникают в электрических цепях синусоидального тока, которые содержат резисторы, индуктивности и конденсаторы. Основной признак резонансного состояния электрической цепи - совпадение по фазе входного напряжения и входного тока, а схема потребляет только активную мощность. Реактивные мощности на отдельных участках цепи присутствуют, но реактивный входной ток равен нулю. Различаются два вида резонансов в электрических цепях: резонансы напряжения и резонансы токов. Резонанс напряжения возникает в последовательной электрической цепи (рис.2), содержащей последовательно включенные резистор, индуктивность и емкость. Эти три элемента можно описать уравнениями:

; ; .

Уравнение для электрической цепи (см. рис.2) является дифференциальным уравнением второго порядка, описывающим колебательные процессы в цепи:

,

где 2n = - демпфирующая сила, приводящая к затуханию свободных колебаний; - круговая частота свободных колебаний.

Резонансную частоту ₀ можно также определить из векторной диаграммы комплексных напряжений. При резонансе напряжение на резисторе равно напряжению сети, совпадает по фазе с входным током ( = 0), а алгебраическая сумма реактивных напряжений равна нулю. Реактивные напряжения, показанные на рис.3, имеют равные модули, но направлены противоположно , т. е. по модулю X_L = X_C. Из равенства реактивных сопротивлений можно получить формулу для определения частот при резонансе:

или .

U X X_L

R

₀ 

X_C

a) б)

Рис. 3. Векторная диаграмма (а) и графики частотной зависимости X_L, X_C и R (б)

Реактивное сопротивление индуктивности X_L = L имеет линейную частотную зависимость, а емкостное сопротивление X_C =1/C обратно пропорционально частоте (рис.3,a). Активное сопротивление R от частоты не зависит.

Добротность резонансного контура Q определяют как отношение реактивных напряжений к входному напряжению (ЭДС) при резонансе:

Добротность резонансного контура можно определить экспериментально по графику резонансной кривой электрического тока. Измерив величину полосы пропускания  по графику электрического тока, полученному экспериментально (рис.4,a), можно вычислить добротность согласно зависимости:

Электрический ток I() последовательной цепи (см. рис.2) определяется по формуле

.

Напряжение на индуктивности изменяется по мере изменения частоты, так как ток и индуктивное сопротивление зависят от частоты:

U_C U_L

U_сети

U_R

_C ₀ _L  

Рис. 4. Резонансная кривая тока (а), ФЧХ (б) и АЧХ на RLC- элементах (с)

Напряжение на емкости изменяется в зависимости от частоты, а график частотной зависимости определяется по формуле

.

Контрольные вопросы:

1. Перечислите основные признаки резонанса.

2. В каких цепях возникает резонанс напряжения?

3. Как рассчитать резонансную частоту?

4. Какой вид имеют АЧХ напряжения на резисторе?

5. Какой вид имеют АЧХ напряжения на индуктивности?

6. Какой вид имеют АЧХ на емкости?