Операторный метод расчета переходных процессов в сложных цепях с двумя, тремя и более накопителями

Теорема разложения. При расчете электрической цепи операторным методом можно получить результат в виде рациональной дроби, у которой показатели степени целые числа, причем показатели степени числителя меньше показателей степени знаменателя (n < m):

.

Если уравнение H(p) = 0 не имеет кратных корней и корней, равных уравнению G(p) = 0, тогда рациональную дробь можно представить в виде суммы простых дробей типа:

,

где p₁, . . . , p_m корни уравнения H(p) = 0.

Коэффициенты A_k о можно определить при разложении рациональной дроби на простые, взяв производную по знаменателю H’(p_k) и подставляя поочередно корни уравнения H(p) = 0

.

Для каждой простейшей дроби получаются оригиналы _·=^ׁׂ .

Частные случаи:

1. Уравнение H(p) = 0 имеет корень равный нулю p=0. В этом случае коэффициент простейшей дроби равен , а оригинал равен A_ke⁰;

2. Уравнение H(p) = 0 имеет корни комплексно-сопряженные p_1,2= −δ ± jω. В этом случае оригинал функции равен:

.

3. Уравнение H(p)=0 имеет кратные корни p₁. Например, кратность корней k = 3. В этом случае изображение Лапласа будет:

.

Здесь, , ,

.

Задача № 2.1. Рассчитать операторным методом переходные процессы токов в ветвях электрической цепи (рис. 2.4).

i1 R1 C1 R3 E1 R2 C3 i2 i3 а)

I1(p) R1 1/pC1 R3 E1(p) R2 1/pC3 I2(p) I3(p) б)

Рис. 2.4. Электрическая схема (а) и операторная схема замещения (б)

Дано: E = 80 B, R₁ = 15 Ом, R₂ = R₃ = 10 Ом, C₁ = 300 мкФ, C₃ = 500 мкФ.

Определить токи в ветвях операторным методом.

Расчет операторной схемы замещения выполняется по уравнениям Кирхгофа, методом контурных токов, методом узловых потенциалов или любыми другими методами, которые применяются при расчете электрических цепей.

Уравнения в операторной форме можно составить методом контурных токов в виде:

Решение системы уравнений после преобразований имеют вид:

После подстановки численных величин изображение электрических токов в первой, в третьей и второй ветвях равны:

Применим теорему разложения для отыскания оригиналов токов. Корни полинома знаменателя определяются по формуле:

Для вычисления постоянных коэффициентов необходимо взять производную от полинома знаменателя:

Постоянные коэффициенты первого тока равны:

Постоянные коэффициенты второго тока равны:

Постоянные коэффициенты третьего тока равны:

Рис.2.5. Графики переходных процессов токов i₁(t), i₂(t) и i₃(t), полученных в Matlab.

Оригиналы токов определяются по формулам:

Графики переходных процессов в первой, второй и третьей ветвях электрической цепи изображены на рис.2.5.

Разработали на кафедре ЭТ:

Волков Ю.И. зав. каф. ЭТ, профессор, дпн

Сапожников Б.И. доцент, ктн