Операторный метод расчета переходных процессов в простых цепях с одним накопителем
2. Расчет переходных процессов методом преобразования Лапласа
Электрические цепи, содержащие три и более накопителя энергии, описываются интегрально-дифференциальными уравнениями третьего порядка и выше. Классическим методом решение таких задач весьма затруднительно, из-за трудности определения постоянных интегрирования.
Операторный метод (метод преобразования Лапласа) при переходе от оригиналов к изображениям с помощью прямого преобразования Лапласа позволяет вместо решения интегрально-дифференциальных уравнений перейти к решению линейных алгебраических уравнений. Переход к изображениям от оригинала осуществляется с помощью преобразования Лапласа^
.
Здесь: f(t) - функция называется оригиналом, которая может представлять в электротехнике токи, напряжения, источники напряжения, сопротивления i(t), u(t), e(t), z(t) и другие элементы электрической цепи; F(p) - изображение оригинала, полученное при прямом преобразовании Лапласа; p - комплексная переменная изображения Лапласа.
Примечание. В качестве комплексной переменной изображения Лапласа может также использоваться символ s или изображение функции F(s). Так принято в математике и программной среде Matlab.
Переход от оригинала к изображениям возможен, если функция оригинала f(t) удовлетворяет условию Дирихле, т.е. функция является непрерывной или имеет конечное число разрывов первого рода (скачков) и конечное число максимумов и минимумов, а также время изменения t принято положительной величиной:
.
2.1. Свойства прямого преобразования Лапласа
Рассматривая основные свойства прямого преобразования Лапласа можно увидеть, что в изображениях интегрально-дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими функциями умножения и деления. Это упрощает решение задач в изображениях.
Свойства преобразования Лапласа:
1.
Изменение масштаба. Если функция f(t)
= A=
Const
является постоянной величиной, тогда
изображение определяется по формуле
A
.
Доказательство.
.
2. Дифференцирование оригинала. Если функция f(t) непрерывно дифференцируемая в пределах (0, +∞) и имеет изображение f(t) .=· F(p), а производная функции f ’(t) тоже оригинал и имеет изображение:
f ’(t) pF(p) – f(0+),
где
.
3. Изображение второй производной (без вывода):
.
Обобщение. Изображение производной n-ого порядка при нулевых начальных условиях равно:
.
4. Интегрирование оригинала. Если функции имеет пределы (0, +∞), а оригинал соответствует изображению f(t) F(p), тогда интегрирование оригинала приведет к изображению в виде:
.
Доказательство. Для интегрирования оригинала вводятся новые переменные:
, 
.
По аналогии выполняется интегрирование оригинала по частям:
.
5. Оригинал является показательной функцией f(t)=eat. Изображение показательной функции имеет вид:
.
По аналогии получается:
.
Доказательство.
.
Различные некоторые функции оригиналов и их изображения (табл.1.1) получены при прямом преобразовании Лапласа. Эти таблицы можно использовать как при прямом, так и обратном преобразовании Лапласа.
Переход от изображения к оригиналу может выполняться в зависимости от сложности вида изображения следующими способами:
по таблицам соответствия изображения оригиналу для простых случаев;
по теореме разложения для сложных изображений;
непосредственным применением теоремы вычетов;
используя обратное преобразование Лапласа.
Для перехода от изображения к оригиналам обычно используются переход по таблицам для простых случаев и переход по теореме разложения для сложных изображений в виде полиномов в числителе и знаменателе.
Таблица 2.1.Оригиналы и изображения по Лапласу
№ п.п. |
f(t) |
F(p) |
|
№ п.п. |
f(t) |
F(p) |
1 |
1 |
1/p |
12 |
1-e-pt |
A/p(p+a) |
|
2 |
A |
1/p |
13 |
(1-at)e-at |
p/(p+a)2 |
|
3 |
t |
1/p2 |
14 |
|
|
|
4 |
e–at |
1/(p+a) |
15 |
cos ωt |
|
|
5 |
e-jωt |
1/(p+jω) |
16 |
sin ωt |
|
|
6 |
e-j(ωt+ψ) |
e-jψ/(p-jω) |
17 |
sin (ωt+ψ) |
|
|
7 |
(1-at)e-at |
p/(p+a)2 |
18 |
e-at sin ωt |
|
|
8 |
te-pt |
1/(p+a)2 |
19 |
cos (ωt+ψ) |
|
|
9 |
1-e-pt |
a/p(p+a) |
20 |
e-at cos ωt |
|
|
10 |
(1- e-at)/a |
1/p(p+a) |
21 |
shat |
|
|
11 |
te-pt |
1/(p+a)2 |
22 |
chat |
|
Операторное сопротивление. Операторные сопротивления индуктивности и конденсатора или изображения Лапласа имеют вид:
ZL(p) = Lp и ZC(p) =1/Cp.
Резистор не имеет зависимости от частоты, поэтому изображение сохраняется в форме оригинала R(p) = R. Напряжение на резисторе оригинала равно: uR(t) = R iR(t). Операторное изображение напряжения на резисторе равно: UR(p)= RIR(p).
Операторное изображение сопротивления ветви (рис.2.1), содержащей резистор, индуктивность и конденсатор, представляется в виде:
Z(p) = R + Lp + 1/Cp.
R Lp 1/Cp
Рис.2.1. Операторное сопротивление ветви
Законы Кирхгофа в операторной форме. Первый закон Кирхгофа в операторной форме – это сумма изображений токов для узла равна нулю, а второй закон Кирхгофа в операторной форме – это сумма изображений ЭДС равна сумме изображений напряжений в контуре:
.
Модуль 6. Семинар 9 «Операторный метод расчета переходных процессов в сложных цепях с двумя, тремя и более накопителями»
План занятия
1. Краткое теоретическое введение
2. Разбор типовых задач.
1 |
Основные законы Кирхгофа и обобщенный закон Ома для расчета цепей в изображениях Составление схем замещения в изображениях и их расчет. |
2 |
Представление изображения в виде полиномов рациональной дроби. Свойства корней полиномов числителя и знаменателя. Переход к оригиналу от изображения Лапласа по теореме разложения. |
3. Самостоятельное решение задач.
4. Обсуждение самостоятельно решенных задач, включая домашнее задание
5. Краткое обобщение рассмотренных вопросов и подведение итогов
6. Контрольная работа по модулю.
7. Следующее домашнее задание
Теоретическая часть