12. Определение дробно рациональной функции. Понятие правильной и неправильной рациональной функции. Простейшие дроби вида 1-4.

Функция вида P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 +…+ a₁x¹+ a₀

n – натуральное число. a_i, i=0,n – постоянные называется многочленом n-ой степени.

Определение : Дробно рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция равная отношению 2-х многочленов т. е: f(x)=P_m(x)/ Q_n(x), P_m(x)-многочлен степени m, Q_n(x)-многочлен степени n. Рациональная дробь называется правильной, если m<n. Если m>=n, то дробь называется неправильной.

P(x)/ Q(x)=S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1)A/(x-a)

2)A/(x-a)^k k>=2 целое

3)(Mx+n)/(x²+px+q) x²+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x²+px+q)^k k>=2

13. Разложение рациональной дроби на простейшие. Если рациональная ф-я R(x)/Q(x) имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q(x) представлен в виде Q(x)=A(x-a)^r(x-b)^s…(x²+2px+q)^t(x²+2ux+v)^z…, где a,b,..,p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единственным образом представить в виде: R(x)/Q(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)²+…. An/(x-a)ⁿ+….(M1x+N1)/(x²+2px+q)+ (M2x+N2)/(x²+2px+q)²+…+(Mkx+Nk)/(x²+2px+q)^k + , где А1,А2,..М1..N1-вещест числа

15. Если х=а – действительный корень кратности k знаменателя Q_n(x) правильной рациональной дроби , т.е. Q_n(x)=(х-а)^kÕ_n-k(x) Тогда дробь будет представляться в виде суммы двух правильных дробей: P_m(x)/Q_n(x)=A/(х-а)^k +Rs(x)/ (х-а)^k-1 Õ_n-k(x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: P_m(x)/Q_n(x)=[A Õ_n-k(x)+ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/[(х-а)^k Õ_n-k(x)]=[ A Õ_n-k(x)]/[(х-а)^k Õ_n-k(x)]+[ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/[(х-а)^k Õ_n-k(x)]=A/(х-а)^k +[P_m(x)-A Q_n-k(x)]/[(х-а)^k Õ_n-k(x)], для каждого А. х=а – корень ура-я P_m(x)- A Õ_n-k(x)=0; P_m(а)- A Õ_n-k(а)=0 ; P_m(а)≠0 и A Õ_n-k(а)≠0 ; A= P_m(а)/A Õ_n-k(а) ; P_m(x)- A Õ_n-k(x)=(x-a) Rs(x) ; P_m(x)/Q_n(x)= A/(х-а)^k +[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) Õ_n-k(x)]= A/(х-а)^k + Rs(x)/[(х-а)^k-1 Õ_n-k(x)] ; A= P_m(а)/Õ_n-1(а)

16. Если Q_n(x)= (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x), где p²-4q<0, Т_n-µ(x) многочлен не делится на x²+px+q, то правильную рациональную дробь P_m(x)/Q_n(x) можно представить в виде суммы двух правильных: P_m(x)/Q_n(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1Т_n-µ(x)] ,µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: P_m(x)/Q_n(x)=[(Mx+N) Т_n-µ(x)+ P_m(x)-( Mx+N) Т_n-µ(x)]/

/(x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)]= (Mx+N)/(x²+px+q)^µ+ [P_m(x)-( Mx+N) Т_n-µ(x)]/[ (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)]

для любого µ и N.

x²+px+q=0, D<0, x₁₂=α±iβ , µ и N: P_m (α+iβ)-[ µ (α+iβ)+N]*T _n-µ( α+iβ)=0.

µ (α+iβ)+N=[ P_m (α+iβ)] /[ T _n-µ( α+iβ)]=k+il.

Система{ µ α+N =k=> N=k- α(L/b)

µb=L=> m=L/b

P_m(x)/Q_n(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1Т_n-µ(x)]

17. Вычисление интегралов от тригонометрических функций.

1)∫R(sinx, cosx)dx Замена переменных tg(x/2)=t (универсальная тригонометрическая замена)

sinx=2t/(1+t²)

cosx=(1-t²)/ /(1+t²)

dx=2/(1+t²)dt

∫R(2t/(1+t²), (1-t²)/ /(1+t²)) 2/(1+t²)dt=∫Ř(t)dt

2)∫R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=∫R(t)dt

3)∫R sinx(cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-∫R(t)dt

4) ∫R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t²)|= ∫R(t)dt/(1+t²)

5) R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx)

∫R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t²)| =∫Ř(t)dt

6) ∫sin ^m x cos ⁿ xdx

a)m=2k+1

∫sin ^2k x cos ⁿ x sinxdx=∫(1-cos ² x)^k cos ⁿ x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-∫(1-t ² )^k t ⁿ dt

b)n=2k+1

∫sin ^m x cos ^2k x cosxdx= ∫sin ^m x (1-sin ² x)^k dsinx

7) ∫sin ^2p x cos ^2a xdx

sin²x=(1-cos2x)/2

cos²x=(1+cos2x)/2

sinxcosx=(1/2)sin2x

8) m=-µ

n=-ν замена t=tgx

1/ sin²x=1+ ctg²x

1/ cos²x=1+tg²x

9) ∫tg ^m x dx; ∫ctg ^m x dx, m-целое положительное

tg²x=1/ cos²x-1

сtg²x=1/ sin²x-1

10) ∫sinmxcosnxdx

∫sinmxsinnxdx

∫cosmxcosnxdx

sinmxcosnx=(1/2)(sin(m+n)x+sin(m-n)x)

sinmxsinnx=(1/2)(cos(m-n)x-cos(m+n)x)

cosmxcosnx=(1/2)(cos(m-n)x+cos(m+n)x)