1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x;y). Соответствие f, которое каждой паре чисел (x;y)€ D сопоставляет одно и только одно число z€ R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, записывается в виде z=f(x,y) или f:D→R. При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией). Понятия функций трех и более аргументов вводятся также, как в случае двух переменных.

3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1) Функцию нескольких переменных можно задать формулой (или несколькими формулами). Функция, заданная формулой, может быть явной или неявной 2) Функцию двух или большего числа аргументов удобно задать таблицей. Для двух переменных: верхняя строка - значения одного аргумента, в первом столбце – значения другого. В пересечении – значение функции. 3) Функцию двух аргументов можно представить пространственным графиком. (см. №5)

4. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Пары тех чисел, которые (по условию вопроса) могут быть значениями аргументов х,у функции f(x,y), в совокупности составляют множество D=D(f) – область определения этой функции. Геометрически область определения изображается совокупностью точек плоскости ХОУ. Область определения трех и более числа пер-х изображается совокупностью точек в пространстве.

5. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Поверхность. Каждой точке M0(x0,y0) области D в системе координат Oxyz соответствует точка M0(x0,y0,z0), где z0 – аппликата точки M. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию. Линия. Функцию двух переменных можно представить на плоскости по способу пометок. Пара значений х,у изображается точкой М(х,у), а значение z-числовой пометкой. Точки, для которых z имеет одно и то же значение, соединяют линией (линия уровня), при ней ставится соответствующая числовая пометка.

6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Δ-Окрестность точки точки M0 – это все, внутренние точки круга с центром M0 и радиусом δ. Определение. Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M0(x0,y0), кроме может быть, самой этой точки. Число А называется пределом функции z=f(x,y) при х→х0 и у→0(или, что то же самое при M(x:y) →M0(х0;у0)), если для любого ε>0 существует δ, такое, что для всех х≠х0 и у≠у0 и удовлетворяющих нер-ву выполняется нер-во |f(x,y)-A|<ε. Записывают:

7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Функция z=f(x,y) или f(М)) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если она: а) определена в этой точке и некоторой её окрестности б) имеет предел в) этот предел равен значению функции z в точке M0, т.е. . Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в кот. Непрер-ть наруш-ся(не вып-ся хотя бы одно из усл-й непрерывности ф-ции в точке), наз-ся точками разрыва этой ф-ции., кто-е м/образовывать целые линии разрыва.

8. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 1-ГО ПОРЯДКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Если сущ-ет предел , то он называется частной производной функции z=f(x,y) в т. М(х,у) по переменной х и обозначается . Аналогично определяется и обозначается частная производная по у. Т.о., Частная производная функции нескольких пер-х определяется как производная функции одной из этих пер-х при усл-и постоянства значений остальных независимых пер-х. Поэтому частные производные функции f(x;y) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной(при этом соот-но х или у считается постоянной величиной).

9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1-ГО ПОРЯДКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Графиком функции z=f(x,y) является некоторая поверхность. График ф-ции z=f(x;y0) есть линия пересечения этой поверх-ти с плоскостью y=y0. Исходя из геометрического смысла ф-ции одной пер-й (y= f0+f’(x0)(x-x0); f’(x0)=tg α_кас=k_кас), заключаем, что f’_x(x0;y0) = tg α_кас, где α_кас – угол м/у Ox и касательной, проведенной к кривой z=f(x;y0) в т. M0[x0;y0;f(x0,y0)]. Аналогично, f’_y(x0;y0)=tg β.

10. ЧАСТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Если полное приращение ф-ции z=f(x,y) Δz=f(x,y)=f(x+Δх;y+Δy)-f(x,y) можно представить в виде Δz =АΔх+ВΔy+αΔx+βΔy, то выражения АΔх и ВΔy называют частными дифференциалами этой функции. Для независимых пер-х х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Поэтому рав-во полного дифференциала можно переписать в виде: dz=A∙dx+B∙dy. [Если частное приращение ф-ции z=f(x,y) Δ_xz=f(x,y)=f(x0+Δх,у0)-f(x0,y0) можно разбить на сумму двух членов: Δ_xz = AΔx + α, где А не зависит от Δx, а α имеет высший порядок относительно Δx, то первый член АΔx наз-ся частным дифференциалом функции по аргументу х и обозначается d_xz.]

11. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Если полное приращение ф-ции z=f(x,y) Δz=f(x,y)=f(x+Δх;y+Δy)-f(x,y) можно представить в виде Δz =АΔх+ВΔy+αΔx+βΔy, где α=α(Δх,Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0, то сумма двух первых слагаемых в рав-ве представляет собой главную часть приращения ф-ции, которая, линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифферециалом этой ф-ции и обозначается символом dz: dz = АΔх+ВΔy.

12. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть z=f(x,y) – функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: x=x(t), y=y(t).В этом случае функция z=f[x(t);y(t)] является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у – промежуточные переменные. Теорема. Если z=f(x,y) – дифференцируемая в т.М(х;у)€D функция и х=х(t) и y=y(t) – дифферециируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t)= f[x(t);y(t)] вычисляется по формуле .

13. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Частные производные наз-ют частными производными 1-го пор-ка. Их можно рассматривать как ф-ции от (х;у)€D. Эти ф-ции м/иметь частные производные, кот-е наз-ся частными производными 2-го пор-ка. Они определяются и обозначаются след. образом:

14. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКОВ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Полный дифференциал dz = АΔх+ВΔy называют также дифференциалом 1-го пор-ка. Пусть ф-ция z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные 2-го пор-ка. Дифференциал 2-го пор-ка определяется по формуле . Если его найти, то получим формулу Аналогично можно получить формулу для дифференциала 3-го пор-ка: Методом мат.индукции можно показать, что

Необходимо отметить, что данные формулы справедливы лишь в случае, когда пер-е х и у ф-ции z=f(x;y) являются независимыми.

15. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. Каждая из частных производных представляет собой приращение ф-ции вдоль соответствующей оси при неизменной 2-ой пер-й. во многих прикладных задачах требуется определить изменение ф-ции не только вдоль Ох или Оу, но и вдоль любого направления на плоскости ХОУ. Пусть ф-ция z=f(x,y) задана в некоторой окрестности т. М0(х0,у0) и описывает поверхность S. Пусть l – ось, направление которой найти. При перемещении т. М0(х0,у0) ф-ция f(x,y) получает приращение Δ_l f=f(x,y)-f(x0,y0), которое соотв-ет приращению Δl. Поскольку х=х0+Δх, у=у0+Δу, то . Определение. Предел отношения называется производной по направлению l от ф-ции z=f(x,y): . Предположим теперь, что ф-ция f(x,y) дифференцируема в т.М. тогда её приращение в этой точке вдоль прямой l можно записать в виде: ,

гдеα₁ и β₁ – б.м. ф-ции при Δ l→0.Разделив обе части нер-ва на и учитывая, что , . Переходя к пределу в этом рав-ве при Δl→0, получаем формулу для производной по направлению: .

16. ГРАДИЕНТ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Градиентом ф-ции z=f(x,y) в т. М(х,у) назыв-ся вектор, координаты которого равны соотв-щим частным производным в этой точке: . Обозначение: . Используя понятия градиента ф-ции и учитывая, что вектор имеет координаты cosα и cosβ, представим формулу для производной по направлению в виде скалярного произведения векторов grad z и : .(1) С др. стороны, по определению скалярного произведения имеем (2) сравнивая формулы (1) и (2) и учитывая, что =1, получаем Т.е. величина производной по направлению зависит от угла. Заметим, что при φ=0 производная по направлению достигает своего макс. значения: . Т.о., градиент характеризует направление и величину макс. скорости изменения ф-ции в точке, или, др. словами, направление вектора grad f указывает направление возрастания ф-ции.

17. СВОЙСТВА ГРАДИЕНТА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1) grad ┴ линии уровня; 2) grad направлен в сторону возрастания ф-ции; 3) длина grad равна макс. Величине производной по направлению д-й точки, др.словами, производная по направлению принимает макс. Значение в том направлении, куда «смотрит» grad.

18. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Определение.Т. М0(х0,у0) наз-ся точкой максимума [минимума] ф-ции z=f(х,у), если сущ-ет окрестность т.М0, такая, что для всех точек с координатами (х,у) из этой окрестности выполняются усл-я: f(x0,y0)≥f(x,y); [f(x0,y0)≤f(x,y)]. Максимум и минимум ф-ции наз-ют её экстремумами. Отметим, что, в силу определения, точка экстремума ф-ции лежит внутри области определения ф-ции; максимум и минимум имеют локальный характер: значения ф-ции в т. (х0,у0) сравнивается с её значениями в точках, значительно близких к (х0,у0). В обл-ти D ф-ция может иметь несколько экстремумов и не иметь одного.

19. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Пусть т. М0(х0,у0) есть точка экстремума дифференцируемой ф-ции z=f(x,y). Тогда частные производные z’_x(x0,y0) и z’_y(x0,y0) равны 0. Точки, в кот-х вып-ся необходимые условия экстремума, наз-ся критическими или стационарными точками. В точке экстремума grad=0. Теорема. Если в т. N(x0,y0) дифференцируемая ф-ция z=f(x,y) имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны 0: точка, в которой частные производные 1-го пор-ка равны 0, наз-ся стационарной. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна производная равна 0 или не существует, наз-ся критическими. Равенство 0 частных производных выражает необходимое, но недостаточное условие экстремума. (такие точки наз-ся седловыми- частные производные равны 0). Седловые точки явл-ся двумерными аналогами точек перегиба ф-ции одной переменной.

20. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Теорема.Пусть в стационарной точке (x0;y0) и некоторой её окрестности ф-ция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго пор-ка включительно. Вычислим в т. (x0;y0) значения Обозначим Тогда: 1. если Δ>0, то ф-ция f(x,y) в т.(x0;y0) имеет экстремум: максимум, А<0; минимум, А>0; 2. если Δ<0, то ф-ция f(x;y) в т.(х0;у0) экстремума не имеет. 3. В случае Δ=0 экстремум в т.(х0;у0) может быть, может не быть, необходимы дополнительные исследования.

21. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть ф-ция z=f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего M и наименьшего m значений (т.н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются ф-цией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области ф-ции z=f(x,y) состоит в следующем: 1. Найти все критические точки ф-ции, -щие , и вычислить значения ф-ции в них; 2. Найти наибольшее и наименьшее значения ф-ции на границах обл-ти; 3. Сравнить все найденные значения ф-ции и выбрать из них наибольшее M и наименьшее m.

22. ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Рассмотрим задачу, в которой экстремум имеется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому усл-ю. Пусть рассматривается ф-ция z=f(x,y), аргументы х и у которой удовлетворяют условию g(x,y)=C, называемому ур-ем связи. Т. (х0;у0) называется точкой условного максимума [минимума], если существует такая окрестность, что д/всех точек окрестности выполняется неравенство f(x0;y0)≥f(x,y) [f(x0;y0)≤f(x;y)].

23. МЕТОД ЛАГРАНЖА ОТЫСКАНИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Составляем ф-цию L(x,y,λ)=f(x,y)+λ[g(x,y)-C]. Ф-ция L наз-ся ф-цией Лагранжа, а λ – множителем Лагранжа. Теорема. Если т. (x0;y0) является точкой экстремума ф-ции z=f(x,y) при условии g(x,y)=С, то сущ-ет значение λ0, такое, что т. (х0,у0,λ0) явл-ся точкой экстремума ф-ции L(x,y,λ), т.е. ф-ции Лагранжа. Т.о., для нахождения условного экстремума ф-ции z=f(x,y) при усл-и g(x,y)=C требуется найти экстремум ф-ции L.

Последнее условие экстремума grad f = -λg*grad g, т.е. в точке экстремума градиенты ф-ций f и g коллинеарны. Замечание. В случае ф-ции многих пер-х рассм-ся больше ур-й связи, и, соответственно, больше множителей Лагранжа.

24. СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ НА НАЛИЧИЕ ЭКСТРЕМУМА. Исследование ф-ции 2-х пер-х z=f(x,y) на наличие экстремума проводится по следующей схеме: 1. находим частные производные z’_x, z’_y; 2. находим критические точки, решая систему 2р-й { z’_x=0 z’_y==0 3. находим частные производные 2-го пор-ка, вычисляем их значение в каждой критической точке и с пом-ю достаточного условия делаем вывод о наличии экстремума 4. находим экстремум ф-ций

25. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА. Пусть на измеримом множестве Х определена ф-ция f, τ – разбиение множества Х, ξ⁽ⁱ⁾€Х_i, i=1,2,…,i_τ, σ_τ= σ_τ(f). Всякая сумма этого вида называется интегральной суммой ф-ции f, соответствующей разбиению τ. Ф-ция а называется интегрируемой на множестве Х, если один и тот же конечный предел имеет любая последовательность интегральных сумм , соответствующих разбиениям множества Х, у которых их мелкость |τ_m|→0 при m→∞, т.е. , а точки ξ^(i,m) выбраны произвольным образом в множествах Х_i^(m). Этот предел, если он существует, называется интегралом от функции f по множеству Х и обозначается . Если n>1, то он называется кратным интегралом, который обозначается

26. ПОНЯТИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная обл-ть. Построим покрывающую эту область решётку, заштрихуем ту часть, которая не покрыта полными клетками. Очевидно, что площадь этой части уменьшается по мере того, как увеличивается число клеток разбиения. Пронумеруем клетки решётки индексами i и j: . Δx_i – длина горизонтальной стороны клеток, Δy_i – длина вертикальной стороны при Δx_i→0, Δy_i→0. Площадь заштрихованной части тоже стремится к 0: S→0. Т.е., можно утверждать, что D_кл..→D. В каждой клетке выберем произвольную точку (ξ_i, η_i) и составим сумму , которую назовём интегральной суммой для ф-ции z=f(x,y) в обл-ти D. Назовём максимальным диаметром d обл-ти D наибольшее расстояние между граничными точками этой области: . Ф-ция z=f(x,y) наз-ся интегрируемой на множестве, если сущ-ет конечный предел интегрируемой суммы этой ф-ции. Само значение предела называется двойным интегралом от ф-ции z=f(x,y) по обл-ти D и обозначается

27. СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. 1. если C – произвольное число, и ф-ция f(x,y) интегрируема в обл-ти D, то ф-ция Cf(x,y) тоже интегрируема в D и , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 2. Если ф-ции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в обл-ти D, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и 3. Если область D явл-ся объединением областей D1 и D2, не имеющих общих внутренних точек, в каждой из которых ф-ция z=f(x,y) интегрируема, то в обл-ти D эта ф-ция также интегрируема и 4. Теорема (о среднем). Если ф-ция z=f(x,y) непрерывна в обл-ти D, то в этой области найдётся такая точка где S – площадь фигуры D.

28. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. Пусть ф-ция z=f(x,y) непрерывна и неотрицательна в обл-ти D. Тогда двойной интеграл численно равен объему V вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z=f(x,y).

30. ПОНЯТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО МНОЖЕСТВА. ПРИМЕРЫ. Множество , где будем называть полуоткрытым прямоугольником, или сокращенно – п-прямоугольником. Для каждого из п-прямоугольников определим его меру рав-вом Т.о., каждому прямоугольнику P-вида поставлена в соответствие число – его мера μP, при этом выполнены след. усл-я: 1) μP≥0 2) μP аддитивна т.е. при усл-ях . Определение. Множество A назовем элементарным, если оно представимо в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся п-прямоугольников.

31. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ (ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ). Пусть обл-ть D задана неравенствами т.е. изображается прямоугольником. Тогда двойной интеграл вычисляется по одной из формул В 1-й формуле сначала вычисляется внутренний интеграл . В процессе этого интегрирования x рассм-ся как постоянная величина. Но результат интегрирования рассм-ся как ф-ция от х, и второе интегрирование (в пределах от a до b) выполняется по аргументу x. Во 2-й формуле порядок действий обратный.

32. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ. 1. Если контур области D встречается со всякой пересекающей его вертикальной прямой не более чем в двух точках (М₁,М₂), то обл-ть D задаётся неравенствами . [a, b – крайние абсциссы обл-ти, φ₁(x), φ₂(x) – ф-ции, выражающие ординаты нижней и верхней граничных линий AM₁B₁, AM₂B₂]. В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле (если ф-ция f(x,y) непрерывна на элементарном множестве D): (1) 2. Если контур области встречается не более чем в двух точках со всякой пересекающей его горизонтальной прямой, имеем аналогично (при обозначениях чертежа 2). (2) 3. Если область интегрирования не является элементарной, т.е. не подходит ни под первый, ни под второй случай, то область D разбивают на несколько частей (D₁, D₂, D₃ на чертеже 3) так, чтобы к кажой части была применима формула (1) или (2).

33. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. Объём тела. Исходя из геометрического смысла двойного интеграла объём цилиндрического тела находится по формуле (1) где z=f(x,y) – уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху. Площадь плоской фигуры. Если положить в формуле (1) f(x,y) = 1 (частный случай), то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой H = 1. Объём такого цилиндра численно будет равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D: (2). Масса плоской фигуры. Исходя из своего физического смысла двойной интеграл от ф-ции ν(x;y) численно равен массе пластинки, если подынтегральную ф-цию ν(x,y) считать плотностью этой пластинки в т. (x;y): Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры. Статические моменты фигуры D относительно осей Ox и Oy м.б. вычислены по формулам а координаты центра масс фигуры – по формулам Моменты инерции плоской фигуры. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ox и Oy м.б. вычислены по формулам: Момент инерции фигуры относительно начала координат – по формуле Замечание. Приведёнными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла.

34. СМЕНА ПОРЯДКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ.

35. ПОНЯТИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. Пусть ф-ция u=f(x,y,z) непрерывна внутри замкнутой пространственной области V и на её границе. Разобьём область V сеткой поверхностей на части, которые пронумеруем индексами i, j, k: – длины сторон при Т.е. можно утверждать, что Vчаст→V. Выберем в каждой части произвольную точку (ζ_i, η_i, θ_i). Составим интегральную сумму для ф-ции f(x,y,z) по обл-ти V. Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая «элементарная область» V_i стягивается в точку, т.е. диаметр области стремится к нулю, т.е. d_i→0), то его называют тройным интегралом от ф-ции u=f(x,y,z) по области V и обозначают

36. СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл: 1. , где C – константа. 2. 3. 4. Теорема (о среднем). Если ф-ция z=f(x,y,z) непрерывна в области V, то в этой области найдётся такая точка где V – объем области V.

37. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ. Пусть областью интегрирования является тело, ограниченное снизу поверхностью z=z₁(x,y), сверху – поверхностью z=z₂(x,y), причем f(x,y) и g(x,y) – непрерывные ф-ции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Oxy. Будем считать область V – правильной в направлении оси Oz: любая прямая параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V ф-ции f(x,y,z) имеет место формула . В процессе вычисления интеграла величины x, y являются постоянными. Результат вычисления рассматривается как ф-ция аргументов x,y. После того как интегрирование по переменной z выполнено, правая часть превращается в двойной интеграл. Поэтому в итоге тройной интеграл сводится к повторному:

38. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. Пусть ф-ция z=f(x,y,z) непрерывна и неотрицательна в пространственной обл-ти V. Тогда тройной интеграл численно равен объему области V, т.е. объёму тела: .