2). В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину 1/6.

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй - В, третий - А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок А до 6-го броска.

4). В магазин поступают изделия с трех заводов, причем i-й (i=1,2,3) завод поставляет 50, 30 и 20 изделий соответственно. Среди изделий каждого завода 70, 80 и 90 первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено третьим заводом.

5). На каждый лотерейный билет с вероятностью 0,1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью 0,2 - мелкий выигрыш. Куплено 15 билетов. Определить вероятность получения 2-х крупных и 2-х мелких выигрышей.

6). Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁=-1 с вероятностью р₁=0,4; х₂=0 с вероятностью р₂=0,1 и х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃. зная, что математическое ожидание М(Х)=0,1.

7). Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения F(x), которая равна 0, x  0, вычисляется по формуле Csin(x/2), если 0 < x  /2, и принимает значение 0, если x > /2. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (0, /4); вероятность того, что Х принимает значения, меньше /6. Найти функцию распределения F(x). Найти математическое ожидание.

8). Ребро куба х измерено приближенно, причем 4,9  x  5,1. Рассматривая ребро куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (4,9, 5,1), найти математическое ожидание и дисперсию площади боковой поверхности куба.

9). Сигнал представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием m, равным 0, и дисперсией s=5. Найти симметричный относительно m интервал, в который с вероятностью р=0,5 попадет измеренное значение сигнала.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС ( A{-1; 0}, B{1;-1}, C{1; 1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 16

1). Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что

а) сумма числа очков не превосходит 5,

б) произведение числа очков не превосходит 5.

В) произведение числа очков делится на 5.

2). Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке от 1000 до 1100. Оба события длятся по 10 минут. Определить вероятность того, что

а) события "перекрываются" по времени,

б) "не перекрываются".

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй - В, третий - А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок А не позднее 6-го броска.

4). В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй 5 белых и 4 черных шара. Из первой во вторую переложили 1 шар, затем из второй извлекли 1 шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар - белый.

5). Вероятность "сбоя" в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,004. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 7 сбоев.

6). Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁=1 с вероятностью р₁=0,2; х₂=2 с вероятностью р₂=0,3 и х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃, зная, что математическое ожидание М(Х)=2,3.

7). Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения F(x), которая равна 0, если x  1, вычисляется по формуле 2Cx, если 1 < x  2, и принимает значение 0, если x > 2. Найти константу С. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (3/2, 2); вероятность того, что Х принимает значения, меньше 3/2. Найти функцию распределения F(x). Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Радиус шара х измерен приближенно, причем 0,8  x  1,2. Рассматривая радиус как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале

(0,8, 1,2), найти математическое ожидание и дисперсию площади боковой поверхности шара.

9). Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и дисперсия Х равны 20 и 100 соответственно. Найти вероятность того, что в трех измерениях по крайней мере одно отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией

f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{-1; 0}, B{2; 1}, C{2; 0}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 17

1). Среди 10 лотерейных билетов 7 выигрышных. Наудачу взяли 5 билетов. Определить вероятность того, что среди них 3 выигрышных.

2). В круге радиуса 13 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны 2,49 и 3,52.

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй - В, третий - А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок В до 6-го броска.

4). В альбоме 6 чистых и 8 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 3 марки, подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекают 1 марку. Определить вероятность того, что эта марка чистая.

5). Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующим неравенствам: m  70, но 95  m.

6). Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁=0,21 с вероятностью р₁=0,1; х₂=0,54 с вероятностью р₂=0,5 и х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃, зная, что математическое ожидание М(Х)=0,535.

7). Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана равенством f(x)=Cx² для 0 < x < 2 и равна 0 в остальных случаях. Найти постоянный параметр С. Найти функцию распределения F(x); вероятность того, что Х принимает значение, принадлежащее интервалу (0, 1); вероятность того, что Х принимает значения, меньше 1. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Основание а равностороннего треугольника измерено приближенно, причем 0,49  а  0,51. Рассматривая основание треугольника как случайную независимую величину Х, равномерно распределенную в интервале (0,49, 0,51), найти математическое ожидание и дисперсию площади треугольника.

9). Орудие стреляет в цель, размер которой 8 м. Отклонение от точного попадания в середину цели является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной 16. Найти вероятность того, что цель не будет поражена.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{0; 0}, B{0; -1}, C{3; 0}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 18

1). В лифт 8- этажного дома сели 5 пассажиров. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что

а) все вышли на разных этажах,

б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

2). Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода - один час, а второго - три часа.

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй - В, третий - А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок В не позднее 11- го броска.

4). Из 1000 ламп 170 принадлежат первой партии, 540 - второй, остальные лампы принадлежат третьей партии. В первой партии - 6 , во второй - 5 , в третьей - 4  бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа бракованная.

5). Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству m:  80.

6). В партии 20% бракованных изделий. Наудачу отобраны 3 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х - числа бракованных изделий среди трех отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана равенством f(x)=Cexp(x) на интервале (0, 1) и равна нулю в остальных случаях. Найти постоянный параметр С. Найти функцию распределения F(x); вероятность того, что Х принимает значение, принадлежащее интервалу (1/2, 1); вероятность того, что Х принимает значения, меньше 1. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Цена деления шкалы термометра равна 0,1 град. Показания термометра округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

9). Орудие стреляет в цель, размер которой 8 м. Отклонение от точного попадания в середину цели является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю. Какова должна быть дисперсия, чтобы вероятность попадания была равна 98%.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{-1; 1}, B{1; 0}, C{-1; 0}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 19

1). "Секретный" замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов с различными написанными на них цифрами. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры дисков образуют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок открывается.

2). На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата a бросается наудачу монета радиусои r, 2r < a. Найти вероятность того, что:

а) монета целиком попадет внутрь одного квадрата;

б) пересечет не более одной стороны квадрата.

3). Вероятность для спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна p. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.

4). Трое охотников одновременно выстрелили по зверю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что зверь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них соответственно равны 0,3, 0,5, 0,7.

5). Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25

6). Один раз брошены две одинаковые игральные кости. Случайная величина Х принимает значение 1, если суммарное выпавшее число нечетное, принимает значение 0, если число 4 выпало на обеих гранях, и принимает значение -1 в остальных случаях. Описать закон распределения случайной величины Х. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на интервале (0, 1) равенством f(x)=C/(1+x²), вне этого интервала f(x)=0. Найти постоянный параметр С. Найти функцию распределения F(x); вероятность того, что Х принимает значение, принадлежащее интервалу (0,3); вероятность того, что Х принимает значения меньше 1/2. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Ток J катушки измерен приближенно, причем J₀-dJ  J  J₀+dJ. Рассматривая ток как случайную независимую величину Х, равномерно распределенную в

интервале (J₀-dJ, J₀+dJ), найти математическое ожидание и дисперсию мощности W катушки (W=JU₀).

9). Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10 мм. С вероятностью 0,9 длина изготовленных деталей не менее 8 мм и не более 12 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 11 мм.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{1; 1}, B{2; 1}, C{1; 2}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 20

1). Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение четырем.

2). Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиусом r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно a и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.

3). Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором - три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.

4). Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти находится по два черных и по два белых шара, а в одной - пять белых и один черный шар. Какова вероятность, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров.

5). Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность такого исхода стрельбы, если будет сделано девять выстрелов.

6). На полке стоят 3 книги в суперобложке и 3 - без нее. Наугад с полки взято две книги. Случайная величина Х принимает значение 0, если обе книги без суперобложки; принимает значение 2, если обе книги с суперобложкой, и значение, равное 1, если одна книга с обложкой, а другая нет. Описать закон распределения случайной величины Х. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на интервале (1, 2) равенством f(x)=C/x, вне этого интервала f(x)=0. Найти постоянный параметр С. Найти функцию распределения F(x); вероятность того, что Х принимает значение, принадлежащее интервалу (1, 1,5); вероятность того, что Х принимает значения, меньше 1,2. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Радиус R цилиндра измерен приближенно, причем 0,19  R  0,21, Н=2. Рассматривая радиус цилиндра как случайную величину Х, равномерно распределенную в X в интервале (0,29, 0,31), найти математическое ожидание и дисперсию площади боковой поверхности цилиндра.

9). Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=5 мм. Найти вероятность того, что три измерения будут произведены с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 3 мм.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{1; 2}, B{2; 2}, C{2; 1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 21

1). Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.

2). В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее l.

3). В двух урнах находятся шары, отличающиеся только по цвету, причем в первой урне находятся 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета

4). Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму - 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

5). Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

6). Чайники выпущены партией 10 000 штук. Вероятность того, что чайник неисправен, равна 0,0001. Используя распределение Пуассона, найти вероятность того, что партия содержит ровно три неисправных чайника. Найти вероятность того, что партия содержит менее трех неисправных чайников.

7). Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на интервале (0, 1) равенством f(x)=C(x²+2x), вне этого интервала f(x)=0. Найти постоянный параметр С. Найти функцию распределения F(x); вероятность того, что Х принимает значение, принадлежащее интервалу (1/4, 1/2); вероятность того, что Х принимает значения, меньше 1/2. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Полуось а эллипса измерена приближенно, причем а₀-da  a  a₀+da, b=b₀. Рассматривая полуось а эллипса как случайную величину X, равномерно распределенную в интервале(а₀-da, a₀+da), найти математическое ожидание и дисперсию площади эллипса.

9). Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=10 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не меньшей по абсолютной величине 5 г.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{0; 1}, B{1; 1}, C{1; -1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 22

1). Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую, также взятую наудачу, кость домино можно приставить к первой, зная, что всех костей 28, из них дублей 7.

2). Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится отрезок длиной 2h, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину отрезка с центром диска, перпендикулярна отрезку. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы на отрезок, если расстояние между отрезком и центром диска равно l.

3). Каждое из четырех несовместных событий может произойти с вероятностями 0,012, 0,010, 0,006, 0,002. Определить вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий.

4). Двое рабочих изготовляют одинаковые детали, которые складывают в общий ящик. Производительность первого рабочего вдвое больше производительности второго. Первый рабочий изготовляет в среднем 54 деталей отличного качества, а второй - 75. Наудачу извлеченная из ящика деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена первым рабочим.

5). Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

6). Фирма владеет тысячью поточных линий по выпуску минеральной воды, работающих независимо одна от другой. Вероятность отказа любой линии в течение времени Т равна 0,002. Используя распределение Пуассона, найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три линии. Найти вероятность того, что за время Т откажет менее 4 линий.

7). Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на интервале (3,5) равенством f(x)=Cx², вне этого интервала f(x)=0. Найти константу С, функцию распределения F(x); вероятность того, что Х принимает значение, принадлежащее интервалу (4, 5); вероятность того, что Х принимает значения, меньше 4. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Азимутальный лимб имеет цену деления один градус. Какова вероятность при считывании азимута угла сделать ошибку в пределах +- 10 мин, если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов. Какова вероятность ошибки, большей 25 мин.

9). Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=10 мм и математическим ожиданием а=0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 2 мм.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{0; 2},

B{-1; 1}, C{1; 1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 23

1). В конверте среди 100 фотокарточек находится разыскиваемая карточка. Из конверта наудачу извлекается 10 фотокарточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

2). Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (k=1,2,3,4,5). Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами 3r и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка. Определить вероятность того, что эта точка попадет: а) в круг радиуса 2r; b) в заштрихованную область.

3). Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные экзаменатором три вопроса.

4). Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25, 0,5, 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1, 0,2, 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

5). Фабрика выпускает 75 продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что из 300 изделий число первосортных заключено между 219 и 234

6). Чтобы выиграть хотя бы один раз в игровом автомате с вероятностью не меньшей 0,9, игроку нужно сыграть не менее 500 партий. Какова вероятность выигрыша в одной партии.

7 ). Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на интервале (-1, 1) равенством , вне этого интервала f(x)=0.

Найти функцию распределения F(x); вероятность того, что Х принимает значение, принадлежащее интервалу (0, 1); вероятность того, что Х принимает значения, меньше 1/2. Найти математическое ожидание.

8). Шкала рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену деления 1 г. При измерении массы компонентов смеси отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность, что абсолютная ошибка определения массы будет заключена между значениями

(S, 2S), где S - среднее квадратичное отклонение.

9). Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,5 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением s=0,3 мм, найти сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{0; 1}, B{1; 2}, C{1; 0}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 24

1). В колоде 36 карт четырех мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается, и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлеченные карты одной масти.

2). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость брошена монета радиусом r < а. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

3). Отдел технического контроля проверяет изделие на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.

4). Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина, равна 0,1. Для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки автомашина. Найти вероятность того, что к данной бензоколонке подъехала легковая автомашина.

5). Пусть вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 855 пассажиров

6). Вероятность выигрыша в карты в партии с профессионалами равна 0,02. Сколько нужно сыграть партий, чтобы выиграть хотя бы в одной из них с вероятностью Р, не меньшей чем 0,95.

7). Случайная величина Х задана функцией распределения F(x), которая равна 0, если x  -2, вычисляется по формуле x/4+1/2, если -2 < x  2, и принимает значение 1, если x > 2. Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти вероятность того, что в результате испытания Х принимает значения а) в интервале (0, 1); б) меньше 2. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Сторона квадрата а измерена приближенно, причем 0,9 a  1,1. Рассматривая сторону квадрата как случайную величину Х, равномерно распределенную в интервале (0,9, 1,1), найти математическое ожидание и дисперсию периметра квадрата.

9). Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 8 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=4 мм и математическим ожиданием а=0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{1; 0}, B{2; 1}, C{2; -1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 25

1). Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3, 5, 7, 9 единицам. Определить вероятность того, что с помощью взятых наудачу трех отрезков из данных пяти можно построить треугольник.

2). В круг радиуса 6 вписан квадрат. Определить вероятность того, что произвольно взятая в круге точка будет принадлежать и квадрату.

3). На участке АВ для мотоциклиста-гонщика имеются 12 препятствий, вероятность остановки на каждом из которых равна 0,1. Вероятность того, что от пункта В до конечного пункта С мотоциклист проедет без остановки, равна 0,7. Определить вероятность того, что на участке АС не будет ни одной остановки.

4). В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне - 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекается по одному шару, которые затем опускаются в порожний мешочек. Найти вероятность того, что наудачу вынутый из мешочка шар окажется белым.

5). В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность перегореть после 1000 часов работы равна 0,4. Если перегорело не менее двух предохранителей, то прибор требует ремонта. Найти вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы, если предохранители перегорают независимо друг от друга.

6). Производится один опыт, в результате которого событие А может появиться с вероятностью р. Пусть Х - случайная величина, принимающая значение 1, если событие А произошло, и значение 0, если событие А не произошло. Описать закон распределения случайной величины Х, найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Случайная величина Х задана функцией распределения F(x), которая вычисляется по формуле 1-x₀³/x³, если x  x₀ (x₀ >1), и равна 0, если x<x₀. Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти вероятность того, что в результате испытания Х принимает значения а) в интервале (1, x₀); б) меньше 2x₀. Найти математическое ожидание.

8). Высота трапеции с основаниями 2 и 3 см измерена приближенно, причем

a  H  b. Рассматривая высоту как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию площади трапеции.

9). Случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением s=10 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадает Х в результате испытания.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функця принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{1; 1}, B{2; 0}, C{2; 1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1972.

2. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1976.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1962.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Составили Андреева Ирина Юрьевна

Карькина Лидия Евгеньевна

Редактор Н.П.Кубыщенко

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Подписано в печать 3.03.2000 Формат 6084 1/16

Бумага типографская Офсетная печать Усл. печ. л. 1,63

Уч. -изд. л. 2,17 Тираж 100 Заказ 95…. Цена “С”

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Издательство УГТУ