6).Закон распределения случайной величины дискретного типа задан таблицей:

={1, 2, 3, 4}

p{X=}={0,1, 0,3, 0,5, 0.1}.

Найти математическое ожидание М(X); дисперсию D(X); P{X2}.

7). Случайная величина Х задана функцией распределения F(x), которая равна 0, если x  1/2; вычисляется по формуле 4x²-1, если 1/2<x2 , и принимает значение 1, если x>1/2. Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти возможное значение х₁, удовлетворяющее следующему условию: с вероятностью 1/6 случайная величина Х в результате испытания примет значение, большее х₁. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Радиус конуса R измерен приближенно, причем 0,49  R  0,51. Высота конуса Н=0,2. Рассматривая радиус конуса как случайную величину Х, равномерно распределенную в интервале (0,49 , 0,51), найти математическое ожидание и дисперсию объема конуса.

9). Станок-автомат изготовляет стержни, причем контролируется их диаметр Х. Считая, что Х - нормально распределенная величина с математическим ожиданием а=100 мм и средним квадратическим отклонением s=10 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностю 0,9 будут заключены диаметры изготовленных стержней.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и равна 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{0; 0}, B{-2; -2}, C{2; -2}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 9

1). Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что

а) сумма числа очков не превосходит 4,

б) произведение числа очков не превосходит 4,

в) произведение числа очков делится на 4.

2). Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке от 900 до 1100 . Одно из событий длится 10 минут, другое - 20 минут. Определить вероятность того, что

а) события "перекрываются" по времени,

б) "не перекрываются".

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй - В, третий А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок А не позднее 5-ого броска.

4). В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй 5 белых и 1 черный шар. Из первой во вторую переложили 4 шара, затем из второй извлекли 1. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар - белый.

5). Вероятность "сбоя" в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,003. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 7 сбоев.

6). Дан перечень возможных дискретных значений дискретной случайной величины Х: х₁=0, х₂=1, х₃=2, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=1; М(Х²)=0,5. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

7). Случайная величина Х задана функцией распределения F(x), которая равна 0, если x  /2, вычисляется по формуле 1-sin(x), если /2 < x  , и принимает значение 1, если x > . Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти вероятность того, что в результате испытания Х принимает значения а) в интервале (/2, 3/4); б) меньше 3/4. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Высота Н цилиндра измерена приближенно, причем 0,29  H  0,31, радиус R=0,2. Рассматривая высоту цилиндра как случайную величину Х, равномерно распределенную в интервале (0,29 , 0,31), найти математическое ожидание и дисперсию значения объема цилиндра.

9). Орудие стреляет в полосу шириной 30 м. Случайная величина Х (расстояние от середины полосы до места попадания снаряда) распределена нормально со средним квадратичным отклонением 6 м и математическим ожиданием, равным нулю. Найти вероятность попадания в полосу, если выпущено два снаряда, причем известно, что для разрушения полосы достаточно одного попадания.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{-1; 0}, B{0; 1}, C{0; -1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 10

1). Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 3 билета. Определить вероятность того, сто среди них 2 выигрышных.

2). В круге радиуса 12 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны 2,37 и 3,52.

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй - В, третий А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок В до 5-ого броска.

4). В альбоме 7 чистых и 6 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 2 марки, подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекают 3 марки. Определить вероятность того, что все 3 марки чистые.

5). Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству 85  m  95.

6). Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатором было предложено 2 вопроса. Случайная величина Х принимает значения, равные числу полученных правильных ответов. Описать закон распределения случайной величины Х. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Случайная величина Х задана функцией распределения F(x), которая равна 0, если x  0, вычисляется по формуле sin(2x/2), если 0 < x  /4, и принимает значение 1, если x > /4. Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти вероятность того, что в результате испытания Х принимает значения а) в интервале (0, /4); б) меньше /4. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Катеты а равнобедренного прямоугольного треугольника измерены приближенно, причем 0,4  а  0,5. Рассматривая катеты треугольника как случайную независимую величину Х, равномерно распределенную в интервале (0,4, 0,5), найти математическое ожидание и дисперсию площади прямоугольного треугольника.

9). Автомат заполняет 250 -граммовые баночки майонезом. Случайная величина Х - отклонение веса баночки от номинального значения - распределена нормально со средним квадратичным отклонением 10 г и математическим ожиданием, равным нулю. Найти вероятность того, что в двух взятых наугад баночках отклонение от нормы не будет превосходить 5 г.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{-1; 0}, B{0; 2}, C{0; -2}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 11

1). В лифт 6- этажного дома сели 4 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что

а) все вышли на разных этажах,

б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

2). Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода - три часа, а второго - два часа.

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй - В, третий - А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок В не позднее 5-го броска.

4). Из 1000 ламп 430 принадлежат первой партии, 180 - второй, остальные лампы принадлежат третьей партии. В первой партии 6, во второй 5, в третьей 4 бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа бракованная.

5). Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: m  70

6). В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 2 детали. Случайная величина Х - число извлеченных окрашенных деталей. Описать закон распределения случайной величины Х. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=2Cx в интервале (0, 3); вне этого интервала f(x)=0. Найти константу С, функцию распределения F(x). Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1, 2); вероятность того, что Х принимает значения меньше 2. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Ток J образца измерен приближенно, причем J₀-dJ  J  J₀+dJ. Рассматривая ток как случайную независимую величину Х, равномерно распределенную в интервале (J₀-dJ, J₀+dJ), найти математическое ожидание и дисперсию напряжения U образца (U=JR₀ - закон Ома).

9). Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m=10 и средним квадратическим отклонением s=5. Найти симметричный относительно m интервал, в который с вероятностю р=0,5 попадет измеренное значение.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и равна 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{0; 0}, B{1; 1}, C{2; 0}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 12

1). Группа, состоящая из 6 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом

2). На поверхности шара берут наудачу две точки и соединяют меньшей дугой большого круга. Найти вероятность того, что дуга не превзойдет  радиан.

3). В двух партиях 87 и 31 доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них

а) хотя бы одно изделие бракованное,

б) два бракованных,

в) одно доброкачественное и одно бракованное.

4). В одной урне лежат 5 белых и 4 черных шаров, а в другой - 4 белых и 6 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые из второй урны шары - белые.

5). Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,3. Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: 30  m.

6). В урне имеется 3 шара с номерами от 1 до 3. Наудачу по одному извлекают 2 шара без возвращения. Случайная величина Х - сумма номеров извлеченных шаров. Описать закон распределения случайной величины Х. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=1-Cx в интервале (0, 2); вне этого интервала f(x)=0. Найти постоянную С. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу

(1, 2); вероятность того, что Х принимает значения меньше 1. Найти функцию распределения F(x). Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Сторона квадрата а измерена приближенно, причем 0,09  a  0,11. Рассматривая сторону квадрата как случайную величину Х, равномерно распределенную в интервале (0,09, 0,11), найти математическое ожидание и дисперсию площади квадрата.

9). Химический завод изготовляет серную кислоту номинальной плотности 1,84 г/см³. В результате статистических испытаний обнаружено, что практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1,82 , 1,86). Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более, чем на 0,01 г/см³.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{-1; 0}, B{0; -2}, C{0; 2}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

.

Билет 13

1). 3 яблока, 5 апельсинов и 7 лимонов раскладываются случайным образом в три пакета, но так, чтобы в каждом было одинаковое количество фруктов. Найти вероятность того, что

а) в каждом из пакетов по одному яблоку,

б) случайно выбранный пакет не содержит яблок.

2). Из отрезка [-1; 3] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше 1, а произведение меньше 1

3). Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком - 0,62, вторым - 0,54. Первый сделал 3, второй - 2 выстрела. Определить вероятность того, что цель не поражена.

4). Программа экзамена содержит 30 различных вопросов, из которых студент знает только 25. Для успешной сдачи экзамена достаточно ответить на 2 предложенных вопроса или на один из них и на один дополнительный вопрос. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен

5). Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 7 раз. Определить, что цифра выпадет 3 раза.

6). Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х₁=1, х₂=2, х₃=3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=2,3; М(Х²)=5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

7). Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=Ccos(x) в интервале (-/2, /2); вне этого интервала f(x)=0. Найти константу С, вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (0, /4); вероятность того, что Х принимает значения, меньше /3. Найти функцию распределения F(x). Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Время падения камня t с горы измерено приближенно, причем t₀  t  t₀+dt. Рассматривая время как случайную величину Т, равномерно распределенную на интервале (t₀, t₀+dt), найти математическое ожидание и дисперсию высоты горы h (считать падение камня равноускоренным: h=gt²/2, g-const).

9). Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение Х контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется стандартным отклонением s. Считая, что для данной технологии s=5 мм и Х нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{-1; 0}, B{1; 1}, C{1; -1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 14

1). Из разрезной азбуки выкладывается слово "программирование". Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово "программирование"

2). Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит 1, будет не меньше 2

3). Урна содержит 8 занумерованных шаров с номерами от 1 до 8. Шары извлекаются по одному без возвращения. Определить вероятности событий А, В, С, где А - событие, состоящее в том, что номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, …, 8. В - хотя бы один раз совпадает порядковый номер шара и порядковый номер извлечения. С - нет ни одного совпадения порядкового номера шара и порядкового номера извлечения.

4). Три стрелка проводят по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны 0,3, 0,7, 0,6. Какова вероятность того, что третий стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины.

5). Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 14 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

6). Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х₁=0, х₂=1, х₃=3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=1; М(Х²)=2. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

7). Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения F(x), которая равна 0, если x  0, вычисляется по формуле Csin2x, если 0 < x  /2, и принимает значение 0, если x > /2. Найти константу С. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (/6, /4); вероятность того, что Х принимает значения меньше /3. Найти функцию распределения F(x). Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Радиус круга х измерен приближенно, причем 0,9  x  1,1. Рассматривая радиус как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале

(0,9, 1,1), найти математическое ожидание и дисперсию площади половины круга.

9). Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение Х контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется стандартным отклонением s. Считая, что для данной технологии Х нормально распределено, выяснить, каким должно быть s, чтобы процент годных деталей составлял 98%.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{-1; 0}, B{1; 2}, C{1; -2}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 15

1). Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го (i=1,2,3,4) сорта равно 2, 3, 4, 1. Для контроля наудачу берутся 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них есть по одному изделию первого и четвертого сорта, два изделия второго сорта, и три изделия третьего сорта.