Министерство образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет

Теория вероятностей

Домашние задания по курсу

"Математика" для студентов всех форм

обучения всех специальностей

Екатеринбург 2000

УДК 517

Составители И.Ю. Андреева, Л.Е. Карькина

Научный редактор проф., д-р физ.-мат. наук А.Н. Сесекин

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: Домашние задания по курсу «Математика»/ И.Ю.Андреева, Л.Е. Карькина.. Екатеринбург: УГТУ, 2000. 29 с.

Данная работа включает в себя двадцать пять вариантов заданий по теме «Теория вероятностей». В каждое задание входят десять задач, которые охватывают все основные темы данного раздела, а именно: 1) классическое определение вероятности, комбинаторные формулы; 2) геометрическое определение вероятности; 3) теорема сложения и умножения вероятностей; 4) формула полной вероятности,

формула Байеса; 5) формула Бернулли, теоремы Муавра-Лапласа; 6) случайные величины, закон распределения (биноминальное распределение и распределение Пуассона);

7) математическое ожидание и дисперсия случайной величины; 8) непрерывные случайные величины, их характеристики; функция распределения, плотность распределения вероятностей; 9) равномерное распределение, нормальное распределение; 10) двумерные случайные величины, корреляция.

Номер задачи в каждом билете соответствует номеру названной выше темы.

Библиогр.: 3 назв.

Подготовлено кафедрой "Прикладная математика"

 Уральский государственный

технический университет, 2000

Билет 1

1). Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го (i=1,2,3,4) сорта равно 1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них есть по одному изделию первого и второго сорта, два изделия третьего сорта и три изделия четвертого сорта.

2). В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину 1/4.

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй- В, третий - А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок А до 4-го броска.

4). В магазин поступают изделия с трех заводов, причем i-й (i=1,2,3) завод поставляет 50, 30 и 20 изделий соответственно. Среди изделий каждого завода 70, 80 и 90 первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено первым заводом.

5). На каждый лотерейный билет с вероятностью 0,1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью 0,2 - мелкий выигрыш. Куплено 15 билетов. Определить вероятность получения 1-го крупного и 2-х мелких выигрышей.

6). Закон распределения случайной величины дискретного типа задан таблицей:

 = { 1, 2, 3, 4}

p{X=} = {1/16, 1/4, 1/2, 3/16}.

Найти математическое ожидание М(X); дисперсию D(X); P{X>2}.

7). Случайная величина Х задана на всей оси ОХ функцией распределения F(x)=1/2+arctg(2x/) (=3,14). Найти плотность распределения вероятностей f(x); вероятность того, что в результате испытаний величина Х примет значение, заключенное в интервале (0,1); вероятность того, что в результате испытаний Х примет значение меньше 1. Найти математическое ожидание данной случайной величины.

8). Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,03; б) большая 0,02.

9). Автоматическая линия штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 5 мм и не более 15 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 12 мм,

б) меньше 7 мм.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение, равное 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{0; 0}, B{1; 1}, C{1; -1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 2

1). Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что

1. сумма числа очков не превосходит 3,

2. произведение числа очков не превосходит 3,

3. произведение числа очков делится на 3.

2). Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке от 900 до 1000. Оба события длятся по десять минут. Определить вероятность того, что а) события "перекрываются" по времени, в) "не перекрываются".

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй - В, третий -А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок А не позднее 4-ого броска.

4). В первой урне 4 белых и 1 черный шар, во второй 2 белых и 5 черных шаров. Из первой во вторую переложили 3 шара, затем из второй извлекли 1 шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар - белый.

5). Вероятность "сбоя" в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,002. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 7 сбоев.

6). Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком р₁, вторым - р₂. Случайная величина Х - суммарное число попаданий в мишень в данном эксперименте. Описать закон распределения данной случайной величины и найти М(X) и D(X).

7). Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Функция F(x) принимает значение 0, если х  0, вычисляется по формуле 1-cos(x), если 0<x</2, и равна 1, если x > /2. Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, /3); вероятность того, что Х примет значение меньше /6. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 10 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус а) менее 5 мин; б) более 7 мин.

9).Производится измерение длины трубы без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=0.25 м. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 0,15 м; каким должно быть среднее квадратическое отклонение, чтобы указанная вероятность была не менее 0,9.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение, равное 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{0; 0}, B{-1; 1}, C{1; 1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 3

1). Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.

2). В круге радиусом 11 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны 2,25 и 3,52.

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй- В, третий - А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок В до 12-го броска.

4). В альбоме 8 чистых и 10 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 3 марки, подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекают 2 марки. Определить вероятность того, что все 2 марки чистые.

5). Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующим неравенствам m  80, но 90  m.

6). Один раз брошены три одинаковые игральные кости. Случайная величина Х принимает значение 1, если хотя бы на одной игральной кости выпадает цифра шесть; принимает значение 0, если шестерка не выпала ни на одной грани, но хотя бы на одной грани появилась цифра 5, и принимает значение -1 в остальных случаях. Описать закон распределения случайной величины Х. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). F(x) равна 0, если x  -1, вычисляется по формуле (x+1)/2, если -1 < x  1, и принимает значение 1, если x > 1. Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3); вероятность того, что Х примет значение меньше 1/2. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут

время, которое отличается от истинного а) не более чем на 10 с., б) не менее

чем на 25 с.

9). Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=10 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 5 г. Каким должно быть среднее квадратическое отклонение, чтобы указанная вероятность была не менее 0,9

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение, равное 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках

A{0; 0}, B{-1; 1}, C{-1; -1}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 4

1). В лифт 11 этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что

а) все вышли на разных этажах,

б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

2). Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода - один час, а второго - два часа.

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй - В, третий -А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок В не позднее 4-го броска.

4). Из 1000 ламп 100 принадлежат первой партии, 250 - второй, остальные лампы принадлежат третьей партии. В первой партии содержится 6, во второй - 5, в третьей - 4 бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа бракованная.

5). Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: m  60.

6). Двое рабочих производят независимо друг от друга детали. Вероятность того, что первый рабочий произведет бракованную деталь, 10%, второй - 5%. Случайная величина Х - суммарное число небракованных деталей, которое сделают оба рабочих, произведя по одной детали. Описать закон распределения данной случайной величины. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Функция распределения непрерывной случайной величины равна F(x). F(x) равна 0, если x  2, вычисляется по формуле x-2, если 2 < x  3, принимает значение 1, если x > 3. Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (2,1, 2,5); вероятность того, что Х примет значение меньше 2,5. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Диаметр круга х измерен приближенно, причем 1  x  1,2. Рассматривая диаметр, как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (1, 1,2), найти математическое ожидание и дисперсию длины окружности.

9). Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=200 мм и математическим ожиданием а=0. Найти вероятность того, что из четырех независимых измерений ошибка одного не превзойдет по абсолютной величине 50 мм.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение, равное 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами A{0; 0},

B{-1; -1}, C{1; -1}). Определить плотности распределения составляющей

Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 5

1). Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом

2). На поверхности шара берут наудачу две точки и соединяют меньшей дугой большого круга. Найти вероятность того, что дуга не превзойдет  радиан.

3). В двух партиях 71 и 47 доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них

а) хотя бы одно изделие бракованное,

б) два бракованных,

в) одно доброкачественное и одно бракованное.

4). В одной урне лежат 5 белых и 5 черных шаров, а в другой - 4 белых и 7 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые из второй урны шары белые.

5). Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,3. Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: 80  m.

6). Два гонщика проходят независимо друг от друга трассу. Вероятность того, что первый гонщик доедет до финиша, равна 0,8, второй - 0,75. Случайная величина Х равна 0, если до финиша не доедут оба гонщика; равна 1, если доедет хотя бы один, и равна 2, если доедут оба гонщика. Описать закон распределения случайной величины. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). F(x) равна 0, если x  2, вычисляется по формуле 0,5x-1, если 2< x 4, принимает значение 1, если x > 4. Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти вероятность того, что в результате испытания Х принимает значения а) в интервале

(1, 3); б) меньше 3.5. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Ребро куба х измерено приближенно, причем 0,5  x  0.6. Рассматривая ребро куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (0,5, 0,6), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

9). Автомат изготавливает шарики. Считая, что отклонение Х диаметра шарика - случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=5 мм, найти вероятность того, что из десяти шариков отклонение двух не превзойдет 2 мм.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение, равное 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках

A{0; 0}, B{2; 2}, C{2; -2}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 6

1). 7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются случайным образом в три пакета, но так, чтобы в каждом было одинаковое количество фруктов. Найти вероятность того, что

а) в каждом из пакетов по одному апельсину,

б) случайно выбранный пакет не содержит апельсинов.

2). Из отрезка [-1; 2] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше 1, а произведение меньше 1

3). Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком 0,61, вторым - 0,55. Первый сделал 2, второй - 3 выстрела. Определить вероятность того, что цель не поражена.

4). Программа экзамена содержит 30 различных вопросов, из которых студент знает только 15. Для успешной сдачи экзамена достаточно ответить на 2 предложенных вопроса, или на один из них и на один дополнительный вопрос. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен

5). Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 3 раза. Определить вероятность того, что цифра выпадет 2 раза.

6). Две лампочки одновременно горят в течение времени Т. Вероятность того, что за это время перегорит первая лампочка, равна 0,1, вторая - 0,2. Случайная величина Х принимает значение, равное 0, если за время Т перегорят обе лампочки; равное 1, если останется гореть хотя бы одна лампочка, и значение, равное 2, если за время Т не перегорит ни одна лампочка. Описать закон распределения случайной величины. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Эта функция равна 0, если x  -1, вычисляется по формуле 1-x², если -1 < x  0; и равна 1, если x > 0. Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти вероятность того, что в результате испытания Х принимает значения а) в интервале

(-0,25, -0,1); б) меньше -0,75. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Длина х прямоугольника измерена приближенно, причем 2  x  2,1, ширина y=10. Рассматривая сторону прямоугольника как случайную независимую величину Х, равномерно распределенную в интервале (2, 2,1), найти математическое ожидание и дисперсию площади прямоугольника.

9). Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 1 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=0,5 мм и математическим ожиданием а=0. Сколько годных деталей из ста штук изготавливает автомат.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция принимает значение 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{0; 0},

B{-2; 2}, C{2; 2}). Определить плотности распределения составляющей

Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми

Билет 7

1). Из разрезной азбуки выкладывается слово "вероятность". Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово "вероятность"

2). Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит 2, будет больше 2

3). Урна содержит 12 занумерованных шаров с номерами от 1 до 12. Шары извлекаются по одному без возвращения. Определить вероятности событий А, В, С, где А - событие, состоящее в том, что номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, …, 12. В - хотя бы один раз совпадает порядковый номер шара и порядковый номер извлечения. С - нет ни одного совпадения порядкового номера шара и порядкового номера извлечения.

4).Три стрелка проводят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равна 0,6, 0,8, 0,4. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины.

5). Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 10 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соответствующую вероятность.

6). Один раз брошены две одинаковые игральные кости. Случайная величина Х принимает значение 1, если суммарное выпавшее число - четное, принимает значение 0, если четное число не выпало ни на одной грани, и принимает значение - 1 в остальных случаях. Описать закон распределения случайной

величины Х. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7). Случайная величина Х задана функцией распределения F(x), которая равна 0,

если x -2; вычисляется по формуле 1-x²/2, если; -2<x0 - принимает

значение 1, если x > 0. Найти плотность распределения вероятностей f(x). Найти возможное значение х₁, удовлетворяющее следующему условию: с вероятностью 1/4 случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х₁. Найти математическое ожидание и дисперсию.

8). Радиус шара х измерен приближенно, причем 0,8  x  1,2. Рассматривая радиус как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале

(0,8 , 1,2), найти математическое ожидание и дисперсию объема шара.

9). Случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением s=12 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, который с вероятностью 0,8 попадает в Х в результате испытания.

10). Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение плотности вероятности в треугольной области АВС, заданное функцией f(x,y). Эта функция рана 1/S, если точка с координатами (x,y) принадлежит области ABC, и 0, если точка с координатами (x,y) не принадлежит данной области (S - площадь треугольника АВС с вершинами в точках A{0; 0}, B{-2; 2}, C{-2; -2}). Определить плотности распределения составляющей Х - fX(x) и составляющей Y - fY(y), математические ожидания МХ и МY, дисперсии DX и DY. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y; установить, являются ли случайные величины независимыми.

Билет 8

1). Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го (i=1,2,3,4) сорта равно 2, 2, 4, 2. Для контроля наудачу берутся 5 изделий. . Определить вероятность того, что среди них есть по одному изделию первого, второго и третьего сорта, и два изделия четвертого сорта.

.2). В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/5.

3). Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй - В, третий- А и т. д. Найти вероятность того, что выиграл игрок А до 5-го броска.

4). В магазин поступают изделия с трех заводов, причем i-ый (i=1,2,3) завод поставляет 50, 30 и 20 изделий соответственно. Среди изделий каждого завода 70, 80 и 90 первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено вторым заводом.

5). На каждый лотерейный билет с вероятностью 0,15 может выпасть крупный выигрыш, и с вероятностью 0,15 - мелкий выигрыш. Куплено 15 билетов. Определить вероятность получения 2-х крупных и 1-го мелкого выигрыша.