Державний вищий навчальний заклад
“Українська академія банківської справи
Національного банку України”
Кафедра вищої математики та інформатики
Т.І. Малютіна, в.М. Долгіх вища математика для економістів
Частина 2
Теорія ймовірностей і математична статистика
Навчальний посібник для самостійного вивчення дисципліни
У 2 частинах
Для студентів економічних спеціальностей
вищих навчальних закладів
Суми
ДВНЗ “УАБС НБУ”
2009
УДК 519.86(075.8)
М15
Рекомендовано до видання вченою радою Державного вищого навчального закладу “Українська академія банківської справи Національного банку України”, протокол № 4 від 26.12.2008.
Рецензенти:
кандидат технічних наук, доцент
В.В. Яценко;
доктор фізико-математичних наук, професор кафедри математичного моделювання
Львівського національного університету ім. І. Франка
М.В. Заболоцький
Відповідальний за випуск
кандидат технічних наук, доцент
В.В. Яценко
М
М15
Вища математика для економістів. Ч. 2. Теорія ймовірностей і математична статистика [Текст] : навч. посібник для самостійного вивчення дисципліни : у 2 ч. / Т. І. Малютіна, В. М. Долгіх ; Державний вищий навчальний заклад “Українська академія банківської справи Національного банку України”. Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2009. – 66 с.
До другої частини посібника включено типову навчальну програму, дані методичні рекомендації щодо виконання індивідуальної роботи, пропонуються задачі для самостійного розв’язання.
Призначений для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
УДК 519.86(075.8)
© Малютіна Т.І., Долгіх В.М., 2009
© ДВНЗ “Українська академія банківської справи Національного банку України”, 2009
ЗМІСТ
До другої частини посібника включено типову навчальну програму, дані методичні рекомендації щодо виконання індивідуальної роботи, пропонуються задачі для самостійного розв’язання. 2
Призначений для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів. 2
ЗМІСТ 4
ВСТУП 7
НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА КУРСУ 8
І. Випадкові події 8
Основні поняття та формули теорії ймовірностей 8
Основні теореми теорії ймовірностей 8
Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі 8
ІІ. Випадкові величини 8
Числові характеристики випадкових величин та їх властивості 9
Закон великих чисел 9
ІІІ. Елементи математичної статистики 9
Методичні рекомендації щодо виконання індивідуальної роботи 11
1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ 12
Індивідуальне завдання 1 12
1.1. Основні поняття та формули теорії ймовірностей 12
1.2. Теореми додавання та множення ймовірностей 15
1.3. Формула повної ймовірності та формули Байєса 19
1.4. Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі 22
2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 26
Індивідуальне завдання 2 26
2.1. Дискретна випадкова величина та її числові характеристики 26
2.2. Неперервна випадкова величина та її числові характеристики 28
2.3. Нормальний розподіл 29
2.4. Нерівність ЧебишОва. Граничні теореми 35
2.5. Двовимірна випадкова величина 38
3. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ 40
індивідуальне завдання 3 40
3.1. Оцінка параметрів і перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу 40
3.2. Елементи теорії кореляції 51
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 62
Додаток А 64
Додаток Б 65
Додаток В 66
Додаток Г 67
Додаток Д 68
Додаток Е 69
Додаток Ж 70
ВСТУП
Цей навчальний посібник написано на основі досвіду викладання курсу вищої математики на факультетах обліково-фінансовому та банківських технологій Державного вищого навчального закладу “Українська академія банківської справи НБУ”.
Мета посібника – сприяти активізації самостійної роботи студентів, отримання теоретичних знань й практичних навичок для розв’язання різних прикладних задач в економіці, плануванні та управлінні виробництвом, у фінансовій і комерційній діяльності.
Це зумовило і зміст книги. Дане видання містить типову навчальну програму, методичні рекомендації щодо виконання індивідуальної роботи, завдання для самостійного опрацювання, додатки та список рекомендованої літератури.
Особливістю даного посібника є те, що автори відмовилися від традиції подавати короткі теоретичні відомості, виходячи з того, що студент, вдовольняючись тим мінімумом з теорії, що є в посібнику, розв’язує задачі і не вивчає за підручником теоретичного матеріалу. Замість цього до кожного підрозділу (теми) наведено навчальну літературу, за допомогою якої студенти можуть поповнити і поглибити знання.
НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА КУРСУ
І. Випадкові події
Основні поняття та формули теорії ймовірностей
Поняття “випробування” та “подія”. Класифікація подій.
Геометрична інтерпретація подій за допомогою діаграм Венна.
Операції над подіями.
Елементи комбінаторики.
Класичне означення ймовірності.
Геометрична ймовірність.
Відносна частота та статистичне означення ймовірності.
Основні теореми теорії ймовірностей
Теорема про ймовірність суми скінченного числа несумісних подій.
Теореми множення ймовірностей. Умовна ймовірність.
Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій.
Ймовірність появи хоча б однієї з подій.
Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.
Формула повної ймовірності. Формула Байєса.
Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі
Формула Бернуллі.
Найбільш ймовірне число настання подій.
Формула Пуассона.
Локальна формула Муавра-Лапласа.
Інтегральна формула Муавра-Лапласа.
Формула обчислення ймовірності відхилення відносної частоти від заданої ймовірності в незалежних випробуваннях.