3. Инвариантные свойства проецирования.

Основные инвариантные свойства параллельного проецирования.  При параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (происходит искажение линейных и угловых величин), причём степень нарушения зависит как от аппарата проецирования, так и от положения проецируемой геометрической фигуры в пространстве по отношению к плоскости проекции.  Но наряду с этим, между оригиналом и его проекцией существует определённая связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Эти свойства называются инвариантными (проективными) для данного способа проецирования.  В процессе параллельного проецирования (получения проекций геометрической фигуры по её оригиналу) или реконструкции чертежа (воспроизведения оригинала по заданным его проекциям) любую теорему можно составить и доказать, базируясь на инвариантных свойствах параллельного проецирования, которые в начертательной геометрии играют такую же роль, как аксиомы в геометрии.  Для построения обратимого чертежа необходимо иметь две взаимосвязанные проекции оригинала.  Поэтому только прямоугольное (ортогональное) проецирование, по крайней мере, на две взаимно перпендикулярных плоскости проекций является основным методом построения технического чертежа (метод Монжа).  Ортогональное (прямоугольное) проецирование обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным (косоугольным) проецированием:  1. простоту геометрических построений для определения ортогональных проекций точек  2. возможность при определённых условиях сохранять на проекциях форму и размеры оригинала.

4. Точка. Проекция точки на плоскость проекции.

Точка – это геометрический образ, не имеющий измерений. Проекцией точки является основание перпендикуляра проецирующего луча, опущенного на плоскость проекций из заданной пространственной точки. Точка может быть задана на чертеже своими координатами, например: А (20;30;15;) или проекциями.

Х - указывает на расстояние до профильной плоскости проекций, Y – до фронтальной, Z– до горизонтальной.

Ортогональный чертеж точки образуется при проведении линий связи из соответствующих координат. На пересечении этих, перпендикулярных между собой линий и образуются проекции точек.

X,Y Þ Ah; X,Z Þ Av; Y,Z Þ Aw.

Линия связи – это прямая, соединяющая две проекции точки. Следует помнить, что фронтальная Av и профильная Aw проекции точки всегда находятся на горизонтальной линии связи, а фронтальная Av и горизонтальная Ah -- на вертикальной

Существует 3 способа получения третьей проекции:

1. Проекционный, когда ножка циркуля устанавливается в начало координат О, и раствором циркуля, равным координате у проводится дуга до пересечения с осью ох.

2. С помощью постоянной чертежа k-45°, когда из начала координат под углом 45° проводят прямую.

3. Координатный (самый точный и поэтому предпочтителен), когда на линии связи Аv - Аw от оси Z откладывают координату Y.

5. Натуральные величины отрезков прямых линий и углов наклона прямых линий к плоскостям проекций (способ прямоугольного треугольника)

Построение проекций отрезка прямой общего и частного положения позволяет решать не только позиционные задачи (расположение относительно плоскостей проекций), но и метрические — определение длины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций. Но эта задача может быть решена только в случае, если отрезок параллелен или перпендикулярен к одной или нескольким плоскостям. Рассмотрим способ решения такой задачи для отрезка общего положения.

Пусть дан отрезок АВ общего положения относительно плоскостей p₁ и p₂. АВ'В — прямоугольный треугольник (рис. 3.10), в котором катет АВ' = А₁В₁ (проекции отрезка АВ на плоскость p₁), а катет ВВ' равен z — разности расстояний точек А и В до плоскости p₁. Угол a в прямоугольном треугольнике АВ'В определяет угол наклона прямой АВ к плоскости p₁.

Рассмотрим треугольник ВА'А (рис. 3.11), где катет ВА' равен проекции А₂В₂ (ВА' = А₂В₂), а второй катет АА' равен D y — разности расстояний точек А и В от плоскости p ₂. Угол в прямоугольном треугольнике ВАА' определяет угол наклона прямой АВ к плоскости p₂.

Таким образом, натуральная длина отрезка прямой общего положения определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого один катет равен проекции отрезка, а второй катет — алгебраической разности расстояний от концов отрезка до одной из плоскостей проекций.