19. Однородная линия при гармоническом внешнем воздействии. Телеграфные уравнения. Решение уравнений Гельмгольца.

Цепями с распределенными параметрами называются идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Токи и напряжения в одномерной цепи с распределенными параметрами являются функциями двух переменных – времени t и координаты x.

Первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные линии, т.е. линии передачи энергии от источника к нагрузке, длина которых значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому одномерные цепи с распределенными параметрами часто называют длинными линиями или линиями, а уравнения (1) и (2), описывающие зависимости между токами и напряжениями элементарного участка одномерной цепи с распределенными параметрами,–

дифференциальными уравнениями длиной линии или телеграфными уравнениями.

(1)

(2) ,

где G₁ , C₁ , R₁ ,L₁ – первичные параметры линии (погонные параметры). Они называются телеграфными, т.к. первоначально были получены в теории телеграфной связи.

Распределения комплексных действующих значений напряжения U(x) и тока I(x)в однородной длинной линии, находящейся под гармоническим внешним воздействием, определяются выражениями

и

Входящий в выражения комплексный коэффициент распространения

и комплексное волновое сопротивление называются коэффициентом распространения и волновым сопротивлением линии.

Решение уравнений Гельмгольца.

Преобразовывая телеграфные уравнение, сможем получить уравнения Гельмгольца. Используя положения символического метода анализа ( законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд или комплексных действующих значений токов и напряжений ), преобразуем уравнения (1) и (2) к следующему виду:

, (3)

Так как комплексы I(х) и U(х) являются функциями только одной переменной х, то уравнения (1), (2) записываются в полных производных. Для решения системы (3) продифференцируем по х первое уравнение и подставим в него второе. Тогда получим:

(1-e уравнение Гельмгольца),

(2-e уравнение Гельмгольца),

где – погонное комплексное сопротивление, - погонная комплексная проводимость.

20. Цепи с распределенными параметрами. Режим бегущих волн.

Если по всей длине линии связи или линии передачи, значение индуктивности, активного сопротивления, емкости и проводимости распределены равномерно и данные условия выполняются, то ее мы называем цепью с распределенными параметрами.

Первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные линии, т.е. линии передачи энергии от источника к нагрузке, длина которых значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных колебаний. К режимам длинных линий без потерь относятся: режим бегущих волн, режим стоячих волн и режим смешанных волн. Рассмотрим режим бегущих волн, или согласованной нагрузки.

Режимом бегущих волн называется режим работы однородной линии, при котором в ней распространяется только падающая волна напряжения и тока, т.е. амплитуды напряжения и тока отраженной волны во всех сечениях линии равны нулю. Очевидно, что в режиме бегущих волн коэффициент отражения линии ρ(х)=0. Режим бегущих волн характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке.

Сопротивление нагрузки линий без потерь является чисто активным и равным волновому сопротивлению:

Комплексные действующие значения напряжения и тока в произвольном сечении линии в режиме бегущих волн:

Перейдем от комплексных действующих значений напряжения и тока к мгновенным:

где –коэффициент фазы, -волновое сопротивление, – начальная фаза колебаний.

В режиме бегущих волн амплитуды тока и напряжений остаются неизменными по всей линии.