26. Закон инерции квадратичных форм.

Теорема (Закон инерции квадратичных форм) Пусть f(x₁,...,x_n) вещественная квадратичная форма. Тогда f сводится над полем вещественных чисел к единственному с точностью до переименования переменных нормальному виду.

Пусть f∼_Ry²₁+···+y²_s−y²_s+1−···−y²_r и f∼_Rz²₁+···+z²_m−z²_m+1−···−z²_r. Тогда существует невырожденная связь новых переменных со старыми Y=QX, Z=TX, где Q ,T–невырожденные квадратные матрицы n-го порядка. Надо понять, что s=m, допустим что это не так и s<m. Потребуем, что y₁=0,...,y_s=0, z_m+1=0,...,z_r=0,...,z_n=0. В развернутом виде получим следующую систему уравнений

q₁₁x₁+q₁₂x₂+···+q_1nx_n=0

q₂₁x₁+q₂₂x₂+···+q_2nx_n=0

. . . . . .

q_s1x₁+q_s2x₂+···+q_snx_n=0

t_m+1,1x₁+t_m+1,2x₂+...t_m+1,nx_n=0

. . . . . .

t_n1x₁+t_n2x₂+···+t_nnx_n=0

Это однородная СЛАУ имеющая s+n−m=n+(s−m)<n уравнений. Тогда число уравнений меньше числа неизвестных и, следовательно, эта система имеет ненулевое решение =(ρ₁,ρ₂,...,ρ_n). Вычислим тогда значение квадратичной формы в точке . Получим y²₁( )+···+y²_s( )−y²_s+1( )−···−y²_r( )=z²₁( )+···+z²_m( )−z²_m+1( )−···−z²_r( ). С учетом того, что является решением СЛАУ, получим −y²_s+1( )−···−y²_r( )=z²₁( )+···+z²_m( ). Так как является набором вещественных чисел, то все слагаемые последнего равенства равны нулю. Получаем z₁(ρ)=0,...,z_m(ρ)=0. Эти равенства вместе с z_m+1(ρ)=0,...,z_r(ρ)=0,...,z_n(ρ)=0 означают, что квадратная, однородная СЛАУ TX=0 с ненулевым определителем имеет ненулевое решение . Это противоречит правилу Крамера. К такому же противоречию приходим в предположении s>m. Значит s=m и теорема доказана.

30. Классификация поверхностей 2-го порядка.

Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz+2a₁₀x+2a₂₀y+2a₃₀z+a₀₀=0, где коэффициенты a₁₁,a₂₂,a₃₃,a₁₂,a₁₃,a₂₃,a₁₀,a₂₀,a₃₀,a₀₀−действительные числа, причем a₁₁,a₂₂,a₃₃,a₁₂,a₁₃,a₂₃ не равны нулю одновременно. В теории поверхностей второго порядка классифицируют и изучают различные виды

поверхностей. Существует семнадцать видов поверхностей второго порядка. Идея классификации

поверхностей основана на приведении их уравнений к каноническому виду в результате

преобразования системы координат в каноническую. Рассмотрим подробнее один из видов поверхностей второго порядка: эллипсоид.

Эллипсоидом называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1.

В частности, если a=b=c, то получаем сферу x²+y²+z²=a² с центром в начале координат и радиусом a. Числа a,b,c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Точки пересечения эллипсоида с осями координат: A₁(−a;0;0),A₂(a;0;0),B₁(0;−b;0),B₂(0;b;0),C₁(0;0;−c),C₂(0;0;c) называются его вершинами. Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипсоида, начало координат – его центром симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью xOy:z=0. Оно задается системой уравнений и представляет собой эллипс с каноническим уравнением

Рассматривая аналогично сечения эллипсоида координатными плоскостями xOz: y=0 и yOz: x=0, а также плоскостями, им параллельными (x=h₁,y=h₂,z=h₃), получаем кривые второго порядка эллиптического типа. Это – либо эллипс (при h₁<a,h₂<b,h₃<c), либо пара мнимых пересекающихся прямых, т.е. точка (при |h₁|=a,|h₂|=b,|h₃|=c), либо мнимый эллипс (при h₁>a,h₂>b,h₃>c).