22. Полярное разложение линейного оператора.

Предложение. Всякий линейный оператор π (матрица) в унитарном пространстве однозначно представим(а) в виде суммы эрмитова (эрмитовой матрицы) и косоэрмитова оператора (косоэрмитовой матрицы).

Доказательство. Если π=ν₁+τ₁=ν₂+τ₂,где ν₁,ν₂–эрмитовы, а τ₁,τ₂–косоэрмитовы операторы, то ν₁−ν₂=τ₂−τ₁. Следовательно,(ν₁−ν₂)^∗=(τ₂−τ₁)^∗.Поэтому,ν₁−ν₂=−τ₂+τ₁,откуда ν₁−ν₂=O. Значит ν₁=ν₂ и τ₁=τ₂. Следовательно, если это разложение существует, то только единственное.

Полагаем ν=1/2·(π+π^∗) и τ=1/2·∗(π−π^∗). Легко видеть, что ν^∗=1/2·(π^∗+π^∗∗)=ν и τ^∗=1/2·∗(π∗−π∗∗)=−τ. Следовательно ν эрмитов, а τ косоэрмитов операторы. Очевидно, что ν+τ=π. В случае вещественного оператора в евклидовом пространстве, предыдущее доказательство полностью сохранится, а опе-

ратор ν будет симметрическим, и τ кососимметрическим. Беря ортонормированный

базис пространства V извлекаем из этого доказательства матричную формулировку

утверждения.

Определение. Симметрический оператор ν называется положительно определенным, если Sp(ν) положителен. Симметрический оператор называется неотрицательным, если Sp(π) неотрицателен.

Случай представления оператора в виде произведения операторов из заданного

класса более сложен, поэтому рассматриваем только вещественные невырожденные операторы π.

Теорема.(о полярном разложении оператора) Для каждого невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве V существуют и единственны положительно определенные операторы ν₁,ν₂ и ортогональные операторы τ₁,τ₂ такие, что π=ν₁τ₁–левое разложение и π=τ₂ν₂–правое разложение.

Доказательство. Существование. Сконцентрируемся на доказательстве правого разложения. В конце доказательства укажем какие нужно внести изменения, чтобы получить левое разложение. Полагаем η=π^∗π. Поймем, что оператор η положительно определен. Действительно, η^∗=(π^∗π)^∗=π^∗π^∗∗=π^∗π=η. Поэтому оператор η симметрический. Если ρ∈Sp(η), то существует вектор a∈V такой, что η(a)=ρa. Рассмотрим скалярное произведение (η(a),a)=(ρa,a)=ρ(a,a). С другой стороны (η(a),a)=(π^∗π(a),a)=(π(a),π^∗∗(a))=(π(a),π(a))>0. Следовательно, ρ>0 и оператор η положительно определен.

Рассмотрим положительно определенный оператор ν1 , который в этом базисе имеет матрицу

A^e_ν1=

Тогда ν²₁=η=π^∗π. Рассмотрим оператор τ₁=πν⁻¹₁.Этот оператор ортогонален. Действительно, τ^∗₁τ₁=(πν⁻¹₁)^∗πν⁻¹₁=(ν−11)^∗π^∗πν⁻¹₁=ν⁻¹₁π^∗πν⁻¹₁=ν⁻¹₁ν²₁ν⁻¹₁=ε. Итак оператор τ₁ ортогонален и π=τ₁ν₁. Для построения левого разложения необходимо вначале взять вспомогательный оператор η₂=ππ^∗. Этот оператор положительно определен, что доказывается тем же способом. Строится положительно определенный оператор ν₂ такой, что ν²₂=η₂. В конце доказательства надо взять оператор τ₂=ν⁻¹₂π и понять, что он ортогонален.

Единственность. Пусть оператор π имеет два правых представления π=τν=τ’ν’, где τ,τ’ ортогональные операторы и ν,ν’ положительно определенные операторы. Тогда π^∗π=(τν)^∗τν=ν^∗τ^∗τν=νεν=ν². Аналогично, π^∗π=(ν’)². Так как операторы ν,ν’ положительно определены, то ν=ν’. Следовательно, τ=πν⁻¹=π(ν’)⁻¹=τ’. Для левого разложения доказательство единственности аналогично.

В качестве упражнения сформулируйте чисто матричный аналог теоремы (2.6.3)

встречающийся, например, в книге [1]. Конечно, автор тешит себя надеждой, что

студент вечерами прорабатывает этот электронный учебник и он в это время выдер-

живает конкуренцию с Интернетом, с играми бродилками, с телевизором (да мало

ли других искушений). Теорема верна (кроме единственности) для любых операторов, не обязательно невырожденных, то есть для каждого оператора π существуют неотрицательные операторы ν₁,ν₂ и ортогональные операторы τ₁,τ₂ такие, что ν₁τ₁=π=τ₂ν₂.

Теорема. Пусть π линейный оператор евклидовом пространстве. Тогда следующие условия эквивалентны

a) π нормален;

b) Если π=τν, где τ–ортогональный, а ν–неотрицательный симметрический операторы, то τν=ντ.

Доказательство. a) =⇒ b) Пусть π нормальный оператор и π = τν, где τ ортогональный и ν неотрицательный операторы. Тогда π^∗π=ππ^∗. Следовательно, (τν)^∗τν=τν(τν)^∗. Поэтому, ν^∗τ^∗τν=τνν^∗τ^∗. Отсюда νεν=τν²τ⁻¹, т.е. ν²=τν²τ⁻¹. Так как ν неотрицательный симметрический оператор, то отсюда следует, что ν=τντ⁻¹. Отсюда заключаем, что τν=ντ.

b) =⇒ a). Пусть π=τν=ντ, где τ–ортогональный, а ν–неотрицательный симметрический операторы. Проверим, что π^∗π=ππ^∗. Действительно, π^∗π=(τν)^∗τν=ν^∗τ^∗τν=νεν=ν². С другой стороны ππ^∗=ντ(ντ)^∗=νττ^∗ν^∗=νεν=ν². Следовательно, оператор π нормален.