14. Оператор сопряженный данному линейному оператору и его матрица.

π линейный оператор в пр-ве V π:V→ V

π(αx+ βy)= απ(x)+β π(y)

Лемма. Если ∀x[(x, y)=(x, y₁)]→y=y₁

Доказательство. (x,y)-(x,y₁)=0

(x,y-y₁)=0. При ∀x. В чаcности при x=y₁-y₂

(y₁-y₂, y₁-y₂)=0→ y₁-y₂= θ , y₁=y_2.

π^* сопряженный оператор к оператору π если для ∀x∀y[(π(x),y) = (x,π^*(y))

(π(x),y)=f_y(x), f_y-линейный функционал

f_y(αx+ βz)= (π (αx+ βz),y­)=( απ(x)+βπ(z)y)= α(π(x),y)+β π(z),y)=αf_y(x)+βf_y(y) т.е. f_y -линейный функционал.

f_y(x)=(x,a_y), где a_y=π^*(y)

f_y(x)=(x, π^*(y)).

Если π линейный оператор, то π^* сопряж. опер. к π если ∀x∀y[(π(x),y) = (x,π^*(y)). Пусть е₁,е₂,…,е_n ортонормированный базис.

(e_i,e_j)=

A=A^e_π=(α_ij)ⁿ_n

Теорема. Матрица сопряж. оператора А A^e_π*= )’= ^*

Доказательство. (π(e_i),e_j)=(e_i,π^*(e_j))

Пусть А= A^e_π= A^*= = A^e_π

π(e_i)= π^*(e_j)=

( )= )

= ( ) → =

Пример. Найти матрицу сопряж. оператора

А= A^*=

18. Ортогональный оператор и ортогональная матрица. Матрица перехода между ортонормированными базисами.

π ортогон. если ∀x∀y[(π(x), π (y)) = (x,y)]

Лемма. Если π лин. опер. и ∀x[(π(x),π(х))=(x,х)], то π лин. оператор.

Если π ортогон. Оператор и х₀ ∈Sp π, то (λ₀ )=1

Теорема. Если π ортогон. оператор сущ-ет ортонор. Базисв котором матрица опер.

А^е_π= второго порядка

где J_i ортогональные клетки 1ого порядка

и

Случ. λ₁∈R : λ₁={-1.1}

e₁∈V, π (e₁)= λ₁e_1, V=H+H^⊥. Для ∀y∈H→ [(π(y),π(x)]→ (λ₁y,π(x)) =0 (y,x)=

По индуктивному предположению сущ-ет ортонорм-ный базис е₂,е₃,…,е_n H^⊥.

= ,

Предложение. Матрица перехода между двумя ортонормированными базисами унитарного (евклидова) пространства унитарна (ортогональна). Пусть e₁,e₂,...,e_n и e’₁,e’₂,...,e’_n два ортонормированных базиса пространства V и e’_i= . Через Q обозначаем матрицу перехода от первого базиса ко второму Q=(q_ij)ⁿ_n. Тогда при i≠k будет 0=(e’_i,e’_k)= и 1=(e’_i,e’_i)= . Следовательно, Q·Q^∗=E и матрица Q унитарна. В евклидовом случае, матрица Q вещественна и унитарна, поэтому ортогональна.

Предложение. Матрица A ортогональна тогда и только тогда, когда сумма квадратов элементов любой из её строк равна 1, а сумма произведений элементов различных строк равна нулю.

Теорема. Пусть π линейный оператор в пространстве V . Следующие условия эквивалентны

a) оператор π ортогонален;

b) ∀x[(π(x),π(x))=(x,x)];

c) ∀x∀y[(π(x),π(y))=(x, y)].

Доказательство.

a) =⇒ b). Если π ортогонален, то (π(x), π(x)) = (x,π∗(π(x)))=(x,x).

b) =⇒ c). В силу b) имеем тождество (π(x+y),π(x+y))=(x+y,x+y). Раскроем это тождество (π(x),π(x))+(π(y),π(x))+(π(x),π(y)+(π(y),π(y))=(x,x)+((x,y)+(y,x)+(y, y). Сокращая это тождество на одинаковые слагаемые и используя коммутативность скалярного произведения в евклидовом пространстве, получим 2(π(x),π(y))=2(x, y) откуда и следует требуемое равенство.

c) =⇒ a). Если ∀x∀y[(π(x),π(y))=(x,y)], то ∀x[(x,π∗π(y))=(x,y). Следовательно, по лемме (Пусть векторы a, b унитарного пространства таковы, что ∀x[(a, x)=(b, x)]. Тогда a=b.)∀y[π∗π(y)=y]. Поэтому π∗π=ε и значит π ортогонален. Таким образом ортогональные операторы это единственные линейные операторы

не меняющие длину вектора.