10. Жордановы матрицы и построение жорданова базиса линейного оператора

Определение. Матрица вида

(1) называется жордановой клеткой, отвечающей собственному числу ρ. Матрица жорданова, если она является жордановой клеткой, либо если она распавшаяся, у которой на диагонали в каком-либо порядке стоят жордановы клетки.

Пример. Матрицы вида

(ρ), , будут жордановыми клетками 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно. Матрица является жордановой с жордановыми клетками 1-го, 2-го и 3-го порядка. Диагональные матрицы являются простейшими жордановыми матрицами с клетками только 1-го порядка. В общем случае жордановы матрицы являются двухдиагональными матрицами, у которых на следующей диагонали выше главной стоят либо 1 либо 0, причем если это 1, то соседние элементы главной диагонали стоящие рядом с 1 равны.

Теорема. Пусть J жорданова клетка (1) и f(x)=β₀x^s+β₁x^s−1+···+β_s−1x+β_s произвольный многочлен. Тогда f(J) = (2)

Здесь k обозначает размер клетки J и в записи f(J) используются производные функции f(x) в точке ρ до k−1-ой включительно.

Доказательство. Красота этой формулы заключается в том, что не нужно вычислять никаких степеней матрицы J, достаточно найти

f(ρ), и построить матрицу f(J). Разложим многочлен f(x) в ряд Тейлора в окрестности

точки ρ. f(x)=f(ρ)+ . Конечно этот ряд будет конечным, так как (s+1)-производная многочлена f(x) равна нулю. Тогда

f(J)= f(ρ)·E+

Обозначим через H матрицу J−ρ·E. Ясно, что H жорданова клетка , отвечающая числу 0. Нетрудно вычислить, что в матрице H² вторая диагональ выше главной заполнена единицами, а все остальные элементы равны нулю. Аналогично в матрице H³ третья диагональ выше главной заполнена единицами, а все остальные элементыравны нулю, в матрице H^(k−1) в правом верхнем углу стоит единица, а все остальные элементы равны нулю, а H^k равна нулевой матрице. Поэтому матрица f(J) имеет требуемый вид.

Если матрица A подобна матрице B, A=Q⁻¹BQ, где B жорданова матрица с жор-

дановыми клетками J₁,...,J_m и f(x) произвольный многочлен, то f(A) = Q⁻¹f(B)Q, где f(B) распавшаяся матрица с клетками f(J₁),...,f(J_m). Более того, если f(x) произвольная функция, такая, что она и её производные имеет смысл в точках спектра матрицы A то полагается, что f(A) = Q⁻¹f(B)Q, f(B) распавшаяся матрица с клетками f(J₁),...,f(J_m) и значения функции от жордановых клеток ищутся по формуле(2).

Жорданов базис линейного оператора

Теорема. Пусть e₁,e₂,...,e_n базис линейного пространства V и π линейный оператор, матрицей которого является жорданова клетка порядка n, отвечающая числу ρ. Тогда пространство V не может быть разложено в прямую сумму собственных инвариантных подпространств.

Доказательство. Имеем

π(e₁)=ρe₁+e₂+0e₃+...0e_n

π(e2)=0e₁+ρe₂+e₃+...0e_n

. . . . . .

π(en)=0e₁+0e₂+0e₃+...ρe_n. Отсюда следует, что

e₂=(π−ρε)(e₁)

e₃=(π−ρε)(e₂)=(π−ρε)²(e₁)

. . . . . . . . .

e_n=(π−ρε)(e_n−1)=(π−ρε)ⁿ⁻¹(e₁). Допустим, что H инвариантное подпространство пространства V относительно оператора π. Тогда H инвариантно и относительно оператора π−ρε. Если b=β₁e₁+...β_ne_n≠θ вектор из подпространства H, то для некоторого m<n ненулевой вектор β_je_n=(π−ρε)^m(b)∈H. Поэтому, любое инвариантное относительно оператора π подпространство содержит вектор e n и, следовательно, пространство V неразложимо в прямую сумму собственных инвариантных подпространств.

Итак нами определено минимальное неразложимое инвариантное подпространство с базисом как в предыдущей теореме, матрица которого образует жорданову клетку. Теперь осталось сообразить, что пространство разлагается в прямую сумму таких инвариантных подпространств. Пусть для простоты числовое поле K является полем комплексных чисел. Пусть π произвольный линейный оператор, тогда все характеристические числа оператора π лежат в поле K. Положим χ_π(t)=(t−ρ₁)^m1...(t−ρ_l)^ml–характеристический многочлен оператора π. Пусть ρ одно из собственных чисел оператора π имеющее кратность m.

Рассмотрим семейство подпространств ker(π−ρε),ker(π−ρε)²,ker(π−ρε)³,... . Если a∈ker(π−ρε)^s, то a∈ker(π−ρε)^s+1 . Поэтому рассматриваемое семейство образует возрастающую цепочку. Так как пространство V конечномерно, то в этой цепочке имеются совпадения. Если ker(π−ρε)^s=ker(π−ρε)^s+1,то ker(π−ρε)^s+1=ker(π−ρε)^s+2,... . Действительно, если a∈ker(π−ρε)^s+2,тоθ=(π−ρε)^s+1(π−ρε)(a)=(π−ρε)^s(π−ρε)(a).

Поэтому, если в этой цепи есть совпадения, то и все дальнейшие члены цепочки

совпадают.

Назовем корневым подпространством оператора π отвечающим числу ρ подпространство ker(π−ρε)^s, где s наименьшее число с которого начинаются совпадения и обозначим его через H_ρ. Так как π(π−ρε)^s=(π−ρε)^sπ, то корневое подпространство H_ρ является инвариантным относительно оператора π подпространством.

Теорема. Пространство V разлагается в прямую сумму корневых подпространств, V=H_ρ1⊕···⊕H_ρl.

Доказательство. Рассмотрим подпространства H_ρ=ker(π−ρε)^s и Im(π−ρε)^s. По теореме о дефекте сумма их размерностей равна размерности n пространства V . Допустим, что a∈ker(π−ρε)^s∩Im(π−ρε)^s≠θ. Тогда (π−ρε)^s(a)=θ и найдется вектор b такой, что (π−ρε)^s(b)=a. Значит (π−ρε)^2s(b)=θ, что противоречит ранее найденным свойствам корневого подпространства. Поэтому V=H_ρ⊕Im(π−ρε)^s.

Характеристический многочлен распавшейся матрицы равен произведению характеристических многочленов клеток и для любого µ≠ρ подпространство H_ρ не содержит собственных векторов, отвечающих µ. Действительно, если a∈H_ρ и (π−µε)(a)=θ, то так как gcd(x−µ,(x−ρ)^s)=1, то (x−µ)u(x)+(x−ρ)^sv(x) = 1. Поэтому, (π − µε)u(π)+(π−ρε)sv(π)=ε. Следовательно, a=ε(a)=((π−µε)u(π)+(π−ρε)^sv(π))(a)=θ. Значит размерность подпространства H_ρ не превышает кратности m характеристического корня ρ, т.е. dimH_ρ≤m.

С другой стороны, допустим ρ является собственным числом оператора πIm(π−ρε)^s. Тогда это подпространство содержит собственный вектор a, отвечающий числу ρ. Легко понять, что тогда ker(π−ρε)s≠ker(π−ρε)^s+1 , что противоречит определению корневого подпространства. Поэтому dimH_ρ≥m. Вместе с найденным ранее противоположным неравенством это дает равенство. Дальнейшие шаги получаются тривиальной индукцией.

Так как в прямой сумме инвариантных подпространств объединение любых базисов этих подпространств является базисом пространства V и оператор π полностью определяется своей матрицей в таком базисе, то можно считать без ограничения общности, что все пространство является корневым подпространством отвечающим одному собственному числу ρ.

Определение. Циклической цепочкой назовем совокупность векторов e₁,e₂,...,e_k такую, что не существует вектора b со свойством (π−ρε)(b)=e₁ и (π−ρε)(e_i)=e_i+1 для 1≤i≤k−1 и (π−ρε)(e_k)=θ.

Теорема. Если последний вектор циклической цепочки e_k отличен от нулевого, то система векторов e₁,e₂,...,e_k линейно независима. Подпространство H=L(e₁,e₂,...,e_k) инвариантно относительно оператора π. Матрица оператора π в подпространстве H в базисе e₁,e₂,...,e_k будет жордановой клеткой порядка k отвечающей собственному числу ρ.

Доказательство. Из определения циклической цепочки следует, что (π−ρε)^k−1(e₁)=e_k,(π−ρε)^k−2(e₂)=e_k,... . Допустим β₁e₁+...β_ke_k=θ. Применим к обеим частям этого равенства оператор (π−ρε)^k−1. Получим β₁e_k=θ и так как вектор e_k отличен от нулевого, то β₁=0. Следовательно, β₂e₂+...β_ke_k=θ. Применяя к обеим частям

этого равенства оператор (π−ρε)^k−2, получим β₂e_k=θ, и значит β₂=0. Продолжая эту тактику получим, что все скаляры β₁,β₂,...,β_k равны нулю. Следовательно, векторы e₁,...,e_k линейно независимы. Из определения циклической цепочки следует, что (π−ρε)(e_i)=e_i+1. Поэтому π(ei)=ρe_i+e_i+1 для 1≤i≤k−1 и π(e_k)=ρe_k. Поэтому подпространство L(e₁,e₂,...,e_k) инвариантно относительно оператора π и матрицей оператора в этом базисе H служит искомая жорданова клетка. Одним из основных препятствий к восприятию жордановых матриц является следующая.

Теорема. Пусть {a₁,a₂,...,a_k1},{b₁,b₂,...,b_k2},...,{c₁,c₂,...,c_km} набор циклических цепочек корневого пространства H_ρ таких, что последние векторы цепочек линейно независимы. Тогда весь набор этих векторов линейно независим.

Следствие. Пусть все характеристические числа оператора π лежат в поле скаляров K линейного пространства V. Тогда в пространстве V существует жорданов базис.

Доказательство. Условие теоремы заведомо выполняется, если поле скаляров K является полем комплексных чисел. Пространство V разлагается в прямую сумму корневых подпространств V=H_ρ1⊕···⊕H_ρm. В корневом пространстве H_ρ существует вектор максимальной высоты, т.е (π−ρε)^h(a)=θ и (π−ρε)^h−1(a)≠θ. Этот вектор порождает жорданову цепочку длины h, отвечающую числу ρ. В подпространстве Hρ выстраиваем максимальный набор жордановых цепочек удовлетворяющих условию предыдущей теоремы . Получим базис подпространства H_ρ. Такую процедуру необходимо проделать в каждом из корневых подпространств. Базис пространства V состоит из всех векторов базисов корневых подпространств.