2. Связь между матрицами оператора в разных базах.

Если ввести матричные обозначения

то упомянутым выше равенствам можно придать матричную форму

π(e) = A^e _π· e

Если e’₁,e’₂, . . . , e’_n другой базис пространства V , то этот базис связан с исходным

базисом e₁,e₂, . . . , e_n с помощью невырожденной матрицы перехода Q = (q_ij)ⁿ_n

e’₁= q ₁₁ e ₁ + q ₁₂ e ₂ + · · · + q _1n e _n

e’₂= q ₂₁ e ₁ + q ₂₂ e ₂ + · · · + q _2n e _n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e’_n= q _n1 e ₁ + q _n2 e ₂ + · · · + q _nn e _n

Этим равенствам можно придать матричный вид

e’= Q · e, где матрица-столбец e’ составлена аналогично строению матрицы e из векторов e’₁,e’₂,...,e’_n.

Тогда π(e’) = A^e’_π·e’.

Подставим сюда выражение для матрицы e’ и получим π(Q · e) = A^e’_π· Qe.

Легко понять, что π(Q · e) = Q · π(e). С учетом матричных выражений для e получим равенство Q·A^e_π·e= A^e’_π· Qe.

Так как матрица e составлена из векторов базиса пространства V , то числовые матрицы множители перед матрицей e должны быть равны и значит

Q · A^e_π= A^e’_π· Q.

Следовательно,

A^e_π= Q⁻¹ ·A^e’_π· Q. (1)

Таким образом нами доказана самая важная формула линейной алгебры,

утверждающая, что матрицы одного и того же оператора в разных базах подобны.

6. Собственные числа и собственные значения линейного оператора.

Определение 1.Ненулевой вектор a называется собственным вектором оператора π отвечающим собственному числу λ₀, если π(a)=λ₀·a.

Если вектор a ненулевой, то потеряет смысл понятие собственного числа оператора, так как для любого числа µ справедливо тождество π(θ)=θ=µ·θ.

Пример. Для оператора проектирования пространства R³ на плоскость xOy векторы прямой z собственные отвечающие числу 0, а векторы любой прямой плоскости xOy, проходящей через начало координат являются собственными, отвечающие числу 1.

Предложение. Собственные векторы оператора π отвечающие попарно различным собственным числам линейно независимы.

Доказательство. Доказываем индукцией по числу собственных векторов. Если

собственный вектор один, то он линейно независим, так как отличен от нулевого. Пусть

π(a₁)=λ₁·a₁,...,π(a_k)=λ_k·a_k причем λ_i≠λ_j при i≠j. Допустим β₁·a₁+β₂·a₂+···+β_k·a_k=θ.

Возьмем от обеих частей образ по оператору π, получим

β₁·λ₁a₁+β₂·λ₂a₂+···+β_k·λ_ka_k=θ.

Вычтем из полученного равенства предыдущее умноженное на λ_k. Получим

β₁·(λ₁−λ_k)a₁+β₂·(λ₂−λ_k)a₂+···+β_k·(λ_k−1−λ_k)a_k−1=θ. Так как векторы a₁,a₂,...,a_k−1 линейно независимы по индуктивному предположению, а числа λ_i−λ_k≠0 для i<k, то β₁=β₂=···=β_k−1=0. Подставив эти значения в исходное равенство, получим β_k·a_k=θ, и так как a_k≠θ, то βk=0. Следовательно, векторы {a₁,a₂,...,a_k} линейно независимы.

Теорема. Пусть π линейный оператор имеющий матрицу A=A^a_π в некотором базисе a₁,a₂,...,a_n пространства V . Вектор b=(β₁,β₂,...,β_n) является собственным вектором оператора π отвечающем собственному числу λ₀ тогда и только тогда, когда b является ненулевым решением квадратной однородной СЛАУ x·(A−λ₀E)=θ, где λ₀ корень уравнения det(A−λE)=0 лежащий в поле K.

Доказательство. Пусть x=(x₁,x₂,...,x_n) собственный вектор отвечающий собственному числу λ₀. Тогда π(x)=λ₀·x. Следовательно, x·A=λ₀·x. Поэтому, b является ненулевым решением квадратной, однородной СЛАУ x·(A−λ₀·E)=θ. Поскольку b ненулевой вектор, то det(A−λ₀E)=0.

Оператор называется диагонализируемым, если существует базис пространства V, в котором матрица оператора диагональная, одним из простых достаточных (но не необходимых условий) диагонализируемости оператора является требование Sp(π)={λ₁,λ₂,...,λ_n}⊂K и λi≠λ_j при i≠j. Заметим, что вектор a собственный для оператора π, отвечающий собственному числу λ₀ тогда и только тогда, когда a∈ker(π−λ₀ε). Матрицей оператора π−λ₀ε является матрица A−λ₀E, поэтому находить собственные векторы, можно методом параллельного вычисления базиса ядра и образа оператора.