7.5. Критерий ничтожных погрешностей

При измерениях, выполняемых с большой точностью, погрешность обычно округляют до двух значащих цифр. Считается, что если погрешность округления не превышает 5%, то такой погрешностью можно пренебречь.

При определении суммарной погрешности случайных погреш­ностей результат выражается формулой

(7,74)

Если в этом равенстве, например, k-я погрешность такая, что (7.75)

(7,75)

то этой погрешностью можно пренебречь, так как полученное различие при округлении теряется (число 1,05 принимается равным 1). Возведем обе части неравенства (7.75) в квадрат и округлив последнее неравенство, получим:

(7,76)

Эта формула в метрологии называется критерием ничтожных по­грешностей, а сами погрешности, отвечающие условию (7.76), называ­ются ничтожными или ничтожно малыми,

Формула (7.76) справедлива и для нескольких погрешностей, если

(7,77)

Использование критерия ничтожных погрешностей при анализе частных погрешностей косвенных измерений позволяет выделить те величины, которыми существенно влияют на погрешность резуль­тата. Повышение точности измерения этих величин позволит умень­шить суммарную погрешность.

7.6. Совокупные и совместные измерения

При совокупных и совместных измерениях искомые значения физических величин и полученные в i-ом опыте в резуль­тате прямых или косвенных измерений значения физических вели­чин . связаны между собой уравнениями вида

(7,78)

После подстановки в каждое уравнение определенных экспери­ментальных значений получаем уравнение

(7,79)

В уравнении (7.79) знак равенства имеет условный характер, так как полученные в результате эксперимента коэффициенты содержат погрешности. Поэтому уравнения вида (7.79) называют условными.

Если уравнения (7.79) составлены из одноименных величин, то измерения называют совокупными; если физические величины, вхо­дящие в уравнения, имеют разные размерности, измерения называ­ют совместными.

Для того чтобы рассчитать значения искомых величин, доста­точно иметь т уравнений, т, е, столько, сколько имеется неизвест­ных, В этом случае результаты измерений и доверительные границы их погрешностей можно найти методами обработки результатов кос­венных измерений. Практически для уменьшения погрешностей результатов делается значительно больше измерений, чем необхо­димо для определения т неизвестных (п > т).

Из-за ограниченной точности определения коэффициентов условные уравнения (7.79) одновременно не обращаются в тожде­ства ни при каких значениях искомых величин. Так как истинные значения искомых величин определить нельзя, то задача сводится к нахождению их оценок Y_t, представляющих собой наилучшие при­ближения к истинным значениям.

Введем в каждое из уравнений (7.79) такие дополнительные сла­гаемые Д,, которые превращали бы их в тождества.

Значения д. называют невязками, или остаточными погрешнос­тями уравнений. Тогда уравнения (7.79) можно записать следую­щим образом:

(7,80)

Одним из наиболее общих способов отыскания оценок истин­ных значений измеряемых величин является метод наименьших квад­ратов.

Согласно этому методу наилучшие оценки величин Y, будут по­лучены тогда, когда сумма квадратов невязок (остаточных погреш­ностей) условных уравнений будет минимальна:

(7,81)

Функция нескольких переменных/достигает минимума в точке, где частные производные равны нулю.

Рассмотрим последовательность обработки экспериментальных данных совокупных или совместных измерений для случая, когда в систему уравнений входят только независимые линейные уравнения:

(7,83)

Так как результаты наблюдений х. содержат погрешность, то по аналогии с (7.80) для системы (7.83) можно написать:

(7,84)

Для каждой.j-ой погрешности из (7.84) имеем:

(7,85)

Тогда для суммы квадратов остаточных погрешностей будем иметь:

(7,86)

Дня определения удовлетворяющих условию (7.86), опреде­лим частные производные функции SS по т. е.

(7,88)

Систему (7.88) называют системой нормальных уравнений. Она, является линейной относительно искомых величин . Число урав­нений равно числу неизвестных величин _. Пользуясь обозначениями, введенными Гауссом, перепишем систему (7.88) следующим образом:

(7,90)

Решение системы (7.90) находят, например, с помощью опре­делителей:

(7,91)

где D — определитель системы; — определитель, полученный из оп­ределителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

В настоящее время для обработки результатов эксперимента ши­роко применяют ЭВМ. Нахождение оценок способам наименьших квадратов на ЭВМ дает возможность обработки больших массивов экспериментальных данных, в результате точность нахождения оце­нок может быть значительно повышена путем увеличения числа ус­ловных уравнений и, следовательно, числа наблюдений до несколь­ких десятков и 'даже сотен.

Оценку среднеквадратичного отклонения результата измерении величины , определяют по формуле:

(7,92)

где — алгебраическое дополнение определителя D; S — оценка среднеквадратичного отклонения уравнений:

(7,93)

Доверительные интервалы для истинных значений всех измеряемых величин получают на основе распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном .