5.6. Точечные оценки параметров распределения

случайных величин и отклонений

Вероятностные характеристики погрешностей измерения определя­ются, как правило, на основании экспериментальных данных методами математической статистики. Иногда для этого проводят специальные эксперименты с целью аттестации средств измерения, иногда они со­вмещены с измерениями контролируемого параметра. При этом оцени­ваются математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Оценка вероятностной характеристики погрешностей измерения называется точечной, если она выражена одним числом. Любая то­чечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, явля­ется случайной величиной. При этом функция ее распределения зависит от распределения случайной величины и числа опытов п.

Точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает с истинным значением оцениваемого параметра.

Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличе­нии количества наблюдений (объема выборки) ее отличие от оцени­ваемого параметра может быть сколь угодно малым.

Точечная оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

Каждое из этих понятий характеризует качество точечных оце­нок. При прочих равных условиях лучшей будет та оценка, которая имеет, например, наименьшее смещение. Среди всех нормально рас­пределенных оценок наилучшей будет эффективная несмещенная оценка.

Теоретическим обоснованием возможности экспериментального определения вероятностных характеристик является закон боль­ших чисел, который для случайных величин формулируется следу­ющим образом.

Пусть проведена серия и независимых одинаковых экспери­ментов по наблюдению за случайной величиной X, имеющей ко­нечные М(х) и D(x).

Обозначим через Х среднее арифметическое результатов наблюдений

(5.53)

В соответствии с законом больших чисел для любых сколь угод­но малых и всегда найдется такое при котором в случае п >

(5.54)

Среднее арифметическое результатов наблюдений является не­сомещенной оценкой математического ожидания случайной вели­чины, а, следовательно, ее истинное значение совпадает с матема­тическим ожиданием случайной величины:

(5.55)

Так как среднее арифметическое результатов измерений получено в результате сложения случайных величин, то оно также является случайной величиной с дисперсией D(x). Значение дисперсии среднего значения можно определить следующим образом:

(5.56)

Из выражения (5.56) следует, что точность результата измерения можно повысить при увеличении числа измерений. Дисперсия сред­него арифметического из и наблюдений в п раз меньше дисперсии результата однократного наблюдения.

Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического оп­ределяется по формуле

(5.57)

При стремится к нулю. Эго означает, что среднее ариф­метическое ряда измерений сходится по вероятности к математи­ческому ожиданию и является его состоятельной оценкой.

Среднее арифметическое значение является также и эффектив­ной оценкой математического ожидания, т. е. имеет минимальную дисперсию.

Рассмотрим пример определения среднего арифметического на основании изменяющегося числа наблюдений.

На рис. 5.13 представлен график зависимости результатов на­блюдений (ряд 1 — отклонения размера в первом опыте, ряд 2 — среднее арифметическое результатов последовательных измерений. Зна­чения этого ряда получаются следующим образом. Первое значение равно первому значению из ряда 1, второе значение равно сумме первого и второю значений ряда 1, деленное на 2, третье значение равно сумме первого, второго и третьего значений первого ряда делённое на 3, и т. д. Последнее значение второго ряда равно

Среднее из 20 наблюдений Л" = 1,75 мкм служит точечной оцен­кой истинного отклонения измеряемой величины.

Результаты отдельных измерений, как это следует из графика, име­ют достаточно большой разброс относительно среднего арифмети­ческого (ряд 1), а разброс отдельных средних арифметических значи­тельно меньше (ряд 2). Он уменьшается по мере увеличения числа измерений.

В качестве точечной оценки дисперсии выбирают среднее зна­чение квадрата отклонения случайной величины от среднего зна­чения

(5.58)

Эта оценка является состоятельной, но смещенной, так как ее математическое ожидание равно

(5.59)

В связи с этим точечную оценку дисперсии принято определять по формуле

(5.60)

где s²_x — эмпирическая дисперсия.

Точечная оценка среднего квадратичного отклонения определя­ется из выражения

(5.61)

Величина s_x характеризует разброс отдельных результатов изме­рения относительно среднего арифметического значения X .

В литературе величину а_х называют средним квадратичным, или стандартным отклонением генеральной совокупности, a s_x— выбо­рочным средним квадратичным отклонением.

Среднее арифметическое X имеет дисперсию, в и раз меньшую, чем дисперсия случайной погрешности (5.57). В связи с этим в ка­честве точечной оценки дисперсии среднего арифметического при­нимается выражение

(5.62)

Оценка среднего квадратичного отклонения среднего арифмети­ческого соответственно равна

(5.63)

С помощью полученных оценок Х и s_х результат измерения, на­пример длины, записывается следующим образом:

(5.64)

что позволяет сделать соответствующие выводы относительно точ­ности измерения: число измерений п. характеризует надежность оп­ределения 5_Д, а величина s_x характеризует близость X к истинному значению L.