7.4. Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях значение искомой величины нахо­дят на основании известной зависимости, связывающей ее с други­ми величинами, полученными прямыми измерениями.

Рассмотрим простейший случай, когда косвенно измеряемая ве­личина является суммой или разностью величин, определяемых пря­мыми измерениями, т. е.

(7,56)

Так как результаты прямых измерений величин X и Y (после исключения систематических погрешностей) включают в себя не­которые случайные погрешности, то формулу косвенного измере­ния суммы можно переписать в виде:

(7,57)

Таким образом, из уравнения (7.57) следует, что будет равна сумме опенок и , а случайные погрешности в сумме дадут случайную погрешность Z:

(7,58)

Математическое ожидание оценки, равно, очевидно, истинно­му значению искомой величины:

(7,59)

Из (7.60) следует, что дисперсия суммы двух слагаемых величин кроме суммы дисперсией этих величин включает еще удвоенное ма­тематическое ожидание произведения погрешностей, которое назы­вают корреляционным моментом. Корреляционный момент опре­деляет степень тесноты «линейной» связи между погрешностями. Через корреляционный момент выражается безразмерная величина, получившая название коэффициента корреляции :

(7,61)

С учетом формулы (7.61) уравнение (7.60) примет вид:

(7,62)

Если косвенно измеряемая величина является разностью вели­чин, определяемых прямыми измерениями, т. е. Z=X-Y, то

(7,63)

Если погрешности измерения величин Х и Уне коррелированны, то

(7,64)

Теоретические дисперсии распределения прямых результатов из­мерений случайных величин Х и Y, как правило, неизвестны. В этом случае оценка дисперсии результата косвенных измерений опреде­ляется через оценки дисперсии :

(7,65)

В формуле (7.65) знак плюс соответствует условию Z = X + Y, а знак минус условию Z = X - Y.

Оценки коэффициента корреляции вычисляют на основании ре­зультатов наблюдений исходных величин

(7,66)

Значения коэффициента корреляции лежат в интервале . Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем тес­нее связь между величинами X и Y.

Если , , то имеет место положительная корреляция, т. е. величины X и F изменяются согласованно в одном направлении — увеличение одной величины влечет за собой увеличение другой

Если <о, то имеет место отрицательная корреляция — увели­чение одной величины сопровождается уменьшением другой.

Если = 0, то величины Х и Y не коррелированны.

Если требуется оценить истинное значение величины г, которая связана со многими величинами

Хi (i = 1, 2, ..., т), измеряемым прямым способом:

(7,67)

в общем случае — нелинейным), то поступают следующим образом. Рассматривая г как функцию т переменных х„ запишем ее полный дифференциал.Каждая из величин Х измерена с некоторой погрешностью , полагая, что погрешности х, малы, можем заменить на

(7,69)

В выражении (7.69) каждое слагаемое представляет собой частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную по­грешностью х, определения величины. Частные производные носят названия коэффициентов влияния соответствующих погрешностей. Формула (7.69) является приближенной, так как учитывает толь­ко линейную часть приращения функции, однако в большинстве практических случаев она обеспечивает удовлетворительную точность оценки погрешностей результатов косвенных измерений. Систематические погрешности, если они определены или известны, используются для определения систематической погреш­ности учетом их знаков подстановкой в (7.69). Эта же формула используется и для определения предельной по­грешности косвенно измеряемой величины по предельным погреш­ностям аргументов. Рассмотрим оценки случайных погрешностей результатов кос­венных измерений. Предположим, что величины х, измерены со слу­чайными погрешностями х., имеющими нулевые математические ожидания М( ) = 0 и дисперсии , Найдем выражения для ма­тематического ожидания M( ) и дисперсии погрешности ,принимая во внимание (7.69)

(7,70)

(7,71)

Если погрешности х, не коррелироаны, то

(7,72)

В качестве оценки косвенно измеряемой величины принимается величина Z, значение которой определяется по следующей формуле:

(7,73)

Дисперсия, этой оценки определяется по формуле (7.71). Коэффициенты влияния, приведенные в формулах, в случае нели­нейной функции/зависят от значений величин X . Коэффициенты вли­яния определяются подстановкой в выражение частных производных оценок соответствующих параметров, что является дополнительным источником погрешности. При экспериментальном определении коэф­фициентов влияния также возникает погрешность их определения.