7.2. Обработка прямых многократных равноточных измерений

Многократные измерения проводятся, как правило, для умень­шения влияния случайных погрешностей. Результат каждого изме­рения при этом дает оценку измеряемой величины.

Результат наблюдения отличается от истинного значения изме­ряемой величины из-за наличия случайной и систематической составляющих погрешности

(7,12)

Если систематическая погрешность результата измерений извест­на, то вводят поправки

(7,13)

Подставив (7.12) в (7.13), получим

(7,14)

Таким образом, задача сводится к установлению оценки x=f(x). Если результаты измерений подчиняются нормальному закону рас­пределения, то, как уже отмечалось, оптимальной оценкой распре­деления Xявляется среднее арифметическое результатов измерений:

В общем случае алгоритм обработки результатов измерений сво­дится к следующему.

1. Исключают из результатов наблюдений известные системати­ческие погрешности. Если известно, что все результаты наблюде­ний имеют одинаковую систематическую погрешность, ее исключа­ют из результата измерений.

2. Если есть подозрение о наличии грубых погрешностей, то их исклю­чают из результатов измерения, используя критерии, приведенные в 6.2.

3. Вычисляют среднее арифметическое X, исправленных резуль­татов наблюдений.

4. Вычисляют оценку среднего квадратичного отклонения ре­зультатов измерений по формуле:

5. Рассчитывают оценку среднего квадратичного отклонения сред­него арифметического значения по формуле

6. Определяют принадлежность результатов измерений нормальному распределению.

6.1. Проверка гипотезы с помощью критерия

6.1.1.Определяют наименьшее x_mln и наибольшее х значе­ния результатов измерений..

6.1.2. Определяют размах варьирования R

(7,15)

6.1.3. Определяют количество интервалов, на которое следует разбивать совокупность результатов измерений по формуле

(7,16)

где int( ) обозначает целую часть числа (округление осуществляется в большую сторону).

6.1.4.Определяется цена деления интервала с

(7,17)

Цена деления с должна быть больше цены деления при­бора, с помощью которого производились измерения.

5. Данные измерений группируют по интервалам и под­считывают частоты т,. Если в некоторые интервалы

6. 

7.1. Вычисления без применения эвм

Номер Пгерпла, 1	Середина •втерший, д:,	Частота интервала, т.	х,-Х	Плотность нормаль­ного распре­деления, JVJ	Теорети­ческая частота, *-	Критерий , (•»,-«„/
			<1 ~ sx
1
2
…
r

6.1.7.Определяется плотность нормированного распределе­ния по формуле попадает меньше пяти наблюдений, то такие интерва­лы объединяют с соседними интервалами. 6.1.6, Для каждого интервала определяется вспомогательная величина t, по формуле

или по таблицам нормированного нормального рас­пределения

6.1.8. Определяют теоретическую частоту т_т: в середине каж­дого интервала по формуле

(7,18)

6.1.9. Для каждого интервала определяют значение

(7,19)

6.1.10. Определяется значение критерия %^г суммированием значений у²

(7,20)

11. Определяется число степеней свободы k = г — 3. Если интервалы объединялись, то число степеней свободы уменьшается. Под г в таком случае понимается коли­чество интервалов с учетом объединения.

7. Находят доверительную погрешность результата измерений и доверительный интервал для среднего квадратичного отклонений.

7.1. Нахождение доверительных интервалов при известной точ­ности измерений. Если заранее известна средняя квадратичная погрешность , .то доверительный интервал имеет вид

(7,29)

Значение t = t_p определяется по заданной доверительной вероят­ности Риз условия 2Ф(t) = Р.

7.2. Нахождение доверительного интервала при неизвестной точ­ности измерений. В этом случае используют распределение Стьюдента. Доверительный интервал принимает вид

(7,30)

где k = п - 1, а множитель /ДЛ) зависит от доверительной вероятно­сти' Р и числа измерений w, Уровень значимости q — 1 — Р.

Значение множителя можно определить по формулам (5.69) — (5.71

7.3. Нахождение доверительных интервалов для средней квадра­тичной погрешности. Для нахождения доверительных интервалов для средней квадратич­ной погрешности используют распределение уравнения

7.3.1. Определяют и по формулам

(7,31)

7.3.2. Определяют число степеней свободы по формуле k = n - 1.

7.3.3. Для полученных значений и по уравнениям(5.83) — (5.93) находят соответственно значения и

7.3.4. Определяют доверительный интервал для среднеквад­ратичного отклонения

(7,32)

8. Определяют границы в не исключенной систематической по­грешности. Если известно, что погрешность результата измерений определяется рядом составляющих, не исключенных систематичес­ких погрешностей, каждая из которых имеет свои доверительные границы, то при неизвестных законах распределения их границы суммарной погрешности находят по формуле

(7,33)

где m — число не исключенных систематических составляющих по­грешностей результата измерения; k — коэффициент, принимаемый равным 1,1 при доверительной вероятности и зависящий от числа составляющих, не исключенных систематических погрешностей.

10. Определяют границу погрешности результата измерений по формуле:

(7,34)

(7,35)

(7,36)

(7,37)

11. Представляют результат измерения и погрешности для случая симметричных доверительных границ в форме . С целью сокращения времени на обработку результатов измере­ний используется программа STAT_MTR.BAS

12. Определение доверительных интервалов, если гипотеза о со­ответствии нормальному закону распределения отвергается. Если гипотезу о нормальности распределения отвергают или число измерений n < 15, то, проводя* проверку симметричности распреде­ления по критерию Вилкоксона в следующем порядке.

12.1. Ряд наблюдений упорядочивают в порядке возрастания

(7,38)

12.2. Определяют медиану по формуле

(7,39)

12.3. Из каждого члена ряда (7_Г38) начитают медиану и образуют упорядоченный ряд из разностей:

(7,40)

12.8.3. В качестве оценки результатов измерения принимают медиану ряда

(7,47)

12.8.4. В качестве погрешности результата измерения при­нимается полуширина доверительного интервала для медианы ряда по формуле

(7,48)

где S и R — порядковые номера членов из ряда (7.46). Числовые значения S к R определяются по формулам (для Р = 0,95)

12.9. Если гипотезу о симметричности распределения отвергают, то производят следующие действия.

12.9.1. В качестве оценки результатов измерения принимают медиану ряда:

12.9.2. В качестве погрешности результата измерения при­нимается полуширина доверительного интервала для медианы ряда по формуле:

где S и R — порядковые номера членов из ряда (7.39). Числовые значения 5 и R определяются из таблицы 7,3