6.4. Исключение систематической погрешности

Рассмотренные выше критерии позволяют сделать вывод о на­личии или отсутствии систематической составляющей в результатах измерений. Для определения закономерности изменения система­тической составляющей погрешности можно использовать метод наи­меньших квадратов.

Наиболее наглядным методом выявления систематической по­грешности является графический метод. Суть метода сводится к сле­дующему. На график в координатах К (результат измерения), А" (по­рядковый номер измерения) наносятся полученные результаты из­мерений. Для наглядности полученные точки соединяют прямыми линиями. По расположению точек на графике судят о наличии си­стематической погрешности. Если тенденция в изменении резуль­татов наблюдается, то систематическая погрешность существует и ее следует исключить. В противном случае констатируют, что систе­матическая погрешность отсутствует (или несущественна).

На рис. 6.1 приведена графическая интерпретация результатов измерений. Проверка по критерию Аббе показала, что в результатах измерений имеется систематическая погрешность.

Расположение точек на графике подтверждает наличие системати­ческой погрешности. Более того, можно утверждать, что системати­ческая погрешность увеличивается примерно по линейному закону.

Задача, таким образом, сводится к определению параметров этой зависимости. Естественно, что параметры зависимости должны быть определены таким образом, чтобы разность между фактическими 1начениями измерений и их расчетными значениями была мини­мальной. Для решения такого рода задач находит широкое приме­нение метод наименьших квадратов (МНК).

Рис 6.1.Графическое представление результатов измерений

При использовании МНК параметры определяют из условия: сумма квадратов (SS) отклонений фактических (у) значений от рассчитан­ных (у.) по выбранной зависимости была бы минимальной, т. е.

(6.28)

Например, если систематическая погрешность изменяется по ли­нейному закону, то можно записать

(6.29)

где — неизвестные параметры линейной зависимости, подле­жащие определению по результатам измерений. Подставляя (6.29) в (6.28), получим

(6.30)

Для определения минимума функции (6.30) найдем частные про­изводные по неизвестным параметрам

(6.31)

Система (6.31) после упрощения примет вид

(6.32)

Решая систему (6.32) относительно неизвестных и получим

(6.33)

Значение определим из первого уравнения системы (6.32). Имеем

(6.34)

Как следует из уравнений (6.33) и (6.34) для определения неизве­стных коэффициентов а₀ и a_l необходимо знать следующие суммы:

(6.35)

Вычисления (без применения ЭВМ) удобно выполнять в соот­ветствии с табл. 6.2.

После определения коэффициентов и операция исключе­ния систематической составляющей сводится к вычитанию расчет­ного значения (у.) из результата измерения в i-ом опыте , т. е.

.2. Вычисления без применения эвм

1	2	3	4	5	б	7 .'
1
2
n