5.7. Интервальные оценки числовых характеристик

Интервал значений случайной величины, внутри которого с за­данной вероятностью находится истинное значение погрешности результата измерения, называется доверительным интервалом погреш­ности результата измерения, а соответствующую ему вероятность — доверительной вероятностью Р.

Нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала назы­вают доверительными границами.

Доверительный интервал характеризует степень воспроизводи мости результатов измерения.

Как следует из определения, для характеристики случайной по­грешности необходимо иметь две характеризующие ее величины — доверительный интервал и доверительную вероятность

Оценка точности вычисления генеральной средней X,

Обозначим через точность приближенного равенства . Тогда определение точности вычисления генеральной средней по данным выборки ^ведется к определению вероятности того, что ис­тинное значение Х₀ находится в пределах , где , т. е.

(5.65)

Для определения вероятности а можно воспользоваться распре делением величины Из статистики известно, что если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, то величина t при любом п следует зако­ну Стьюдента, который имеет следующее выражение

(5.66)

где k=n-1 -число степеней свободы; Т(к) –гамма функция.

Как следует из (5.66), значение S_k(t) зависит только от перемен­ной t и числа степеней свободы k. 'Поэтому если задана вероятность а, то из (5.67) можно найти такое положительное число /„, которое будет зависеть только от до п:

(5.67)

Так как t= ,то выражение будет принимать следующий вид:

(5.68)

Значения t_a приводятся в справочной литературе по статистике. С достаточной для практических целей точностью значение t_a мож­но определить по следующим уравнениям, полученным в результате аппроксимации табличных значений для наиболее употребительных значений

(5.69)

(5.70)

(5.71)

Если точности вычисления среднего квадратичного Отклонения генеральной совокупности по данным выборки.

Задача сводится к определению вероятности приближённого равенства , точность которого равна. Здесь s- среднее квадратичное отклонение выборки из объема n.

Если известно что случайная величина ч в генеральной совокупности подчинена нормальному закону, то величина

(5.72)

имеем распределение ,дифференциальная функция которого имеет вид

(5.73)

Определим вероятность приближённого равенства

(5.74)

Преобразуем неравенство в скобках следующим образом, полагая, что

(5.75)

Обозначим ,откуда и

Вероятность этого неравенства равна интегралу

(5.76)

Левая часть этого уравнения есть преобразованное выражение вероятности ,с учётом этого окончательно можно записать:

(5.77)

(5.78)

6. Грубые погрешности и промахи

Источниками промахов нередко бывают ошибки, допущенные оператором при измерении. Наиболее характерными из них явля­ются: неправильный отсчет по шкале измерительного устройства, неправильная запись результата наблюдения (описка), неправиль­ная запись значений отдельных мер использованного набора и т. п., ошибки при действиях с приборами, если они повторяются при из­мерениях.

Причинами грубых погрешностей могут быть внезапные или крат­ковременные изменения условий измерения или незамеченные не­исправности в аппаратуре.