5.5. Примеры законов распределения случайных величин

5.5.1. Закон нормального распределения

Закон нормального распределения находит большое примене­ние в различных отраслях техники. Этому закону подчиняются мно­гие случайные непрерывные величины, встречающиеся в технике, например ошибки измерения, высота микронеровностей обработан­ной поверхности и многие другие. Широкое применение закона нормального распределения объясняется центральной предельной теоремой. Из этой теоремы следует, что если случайная величина X

вставляет сумму очень большого числа взаимно независимых [иных величин х„ х,, ,.., х„, влияние каждой из которых на всю -.- _? . незначительно, то независимо от того, каким законам рас­пределения подчиняются слагаемые х„ х₂, ..., х„, сама величина X будет иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.

Этот вывод имеет большое практическое значение. _; Теорема Ляпунова дает теоретическое объяснение и тому факту, что при устойчивом процессе обработки деталей на настроенных « станках и при отсутствии изменяющихся во времени систематичес­ких погрешностей действительные размеры деталей часто подчиняются закону нормального распределения, так как результирующую »». погрешность обработки можно представить как сумму большого числа погрешностей, зависящих от станка, приспособления, инструмента и заготовки.

Плотность вероятности или дифференциальная функция распределения случайной величины непрерывного типа, подчиняющейся закону нормального распределения, имеет следующий вид

(5.30`)

где х — переменная случайная величина; р(х) — плотность вероят­ности; а — среднее квадратичное отклонение случайной величины среднее значение (математическое ожидание) величин х; е — основание натуральных логарифмов, е = 2,71828.

Дифференциальная функция нормального распределения графи­чески выражается в виде кривой колоколообразного типа (рис. 5.6). Из вида кривой нормального распределения следует, что она сим­метрична относительно ординаты точки х = X . Меньшие отклонения отЛГ более вероятны, чем большие. Большие отклонения от центра группирования маловероятны.

Положение кривой относительно начала координат и ее форма

Рис. 5.6. Теоретическая кривая нормального распределения

Положение кривой относительно начала координат и ее форма

определяются двумя параметрами Л' и ет. С изменением-У форма кривой не изменяется, но изменяется ее положение относительно начала координат (рис. 5.7, а). С изменением а положение кривой не изменяется, но изменяется ее форма. С уменьшением о кривая становится более вытянутой, а ветви ее сближаются; с увеличением а, наоборот, кривая становится более приплюснутой, а ветви ее раздвигаются шире (рис.5.7, б).

Интегральный закон нормального распределения выражается сле­дующим уравнением:

(5.31)

Вид интегральной кривой нормального распределения представ­лен на рис. 5.8.

Если случайная величина следует нормальному закону и может принимать любые численные значения в пределах , то

(5.32)

Вероятность значений Х в любом другом интервале см. (рис. 5.6) меньше единицы и будет равна

(5.33)

Произведем замену переменной х на t путем подстановки:

(5.34)

Учитывая, что получим

(5.35)

Новые пределы интегрирования и заменили пределы и Правую часть уравнения (5,35) можно представить в виде суммы двух интегралов:

(5.36)

Знак плюс в уравнении (5.36) изменился на минус вследствие изменения пределов интегрирования с на

Интеграл

(5.37)

носит название нормированной функции Лапласа, а его значения различных табулированы. Значение нормированной функции Лапласа Ф(t) с погрешностью менее можно определить по формуле:

(5.38)

а если t<0, то Функция Лапласа нечетная:

Ф(-t)=-Ф(t) (5.39)

Вероятность того, что случайная величина, подчиняющаяся за­кону нормального распределения, при измерениях примет значение в пределах , можно записать через Ф(t) следующим образом:

(5.40)

У теоретической кривой нормального распределения ветви ее асимптотически приближаются к оси абсцисс, т. е. зона рас­сеивания случайной величины х лежит в пределах . Практи­чески зона рассеивания случайной величины Х ограничена ко­нечными пределами.

Например, вероятность того, что случайная величина будет на­ходиться в пределах, близка к единице.Из уравнения 5.40 следует ( )

Таким образом, вероятность q появления случайной величины указанного интервала не превосходит q=1-P=-0.9973=0.0027- очень мала. Следовательно, в качестве практически предельного поля рассеивания для закона нормального распределения можно принять,интервал в 6 ,т.е.

, т. е. совпадает с началом координат то уравнение (5.31) примет вид

(5.41)

Введём замену

(5.42)

но

поэтому можно записать

(5.43)

Закон нормального распределения является симметричным относительно ординаты точки .Как уже отмечалось, для оценки отклонений эмпирического рас­пределения от нормального используются безразмерные характери­стики: коэффициент асимметрии а и коэффициент эксцесса т.Мера асимметрии вычисляется по формуле (5.29) или по формуле

(5.44)

где n — объем совокупности.

Мера эксцесса распределения вычисляется по формуле (5.30) или по формуле

(5.45)