8.6. Линейные дискретные детерминированные системы

Уравнение состояния, или дискретная динамическая модель имеет вид:

(8.52)

где X – вектор состояния, определенный только в дискретные моменты времени при k = 0, 1, 2 , ... ;

– переходная матрица состояния размерности n n;

– переходная матрица входного воздействия размерности n 1;

– входная последовательность при начальных условиях

Модель (8.52) можно записать в сокращенном виде:

(8.53)

Вектор состояния X(k) определяется путем решения уравнения состояния (8.53):

(8.54)

где .

В некоторых задачах при исследовании непрерывных физических систем предпочитают перейти от непрерывной динамической модели к дискретной. В основе процедуры дискретизации непрерывной модели лежит тесная взаимосвязь дифференциальных и разностных уравнений.

9. Другие виды математических моделей

ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

9.1. Переходная функция

П ереходная функция представляет собой реакцию динамической системы на единичное ступенчатое воздействие (рис. 9.1):

(9.1)

где

при нулевых начальных условиях.

Математическое выражение для определяется путем решения дифференциального уравнения, описывающего данную физическую систему при

(9.2)

9.2. Импульсная переходная функция

Импульсная переходная функция представляет собой реакцию физической системы на входное воздействие вида

(9.3)

где – дельта -функция:

(9.4)

^(9.5)

Таким образом, дельта-функцию можно рассматривать как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь (рис. 9.2). Переходная функция h(t) и импульсная переходная функция связаны между собой соот-ношениями:

^(9.6)

Зная импульсную переходную функцию динамической системы, можно определить ее реакцию на любое входное воздействие x(t). Для этого используется интеграл свертки

(9.7)

10. Математические модели в частотной области

В частотной области для исследования динамических (передаточных) свойств физических систем используют математические модели в форме частотных характеристик.

Частотные характеристики позволяют оценить реакцию системы на входной гармонический сигнал любой частоты, а также на сумму гармонических сигналов различной частоты в установившемся режиме.

Для стационарной линейной системы (см. рис. 4.1) математическая модель, связывающая выходной и входной сигналы, может быть представлена в виде амплитудно-фазовой частотной характерис-тики (а-ф.х.):

(10.1)

где − модуль а-ф.х. – представляет собой амплитудную частотную характеристику (а.ч.х.);

− аргумент а-ф.х. – представляет собой фазовую частотную характеристику (ф.ч.х.).

Амплитудная частотная характеристика отражает зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты.

Фазовая частотная характеристика отражает зависимость фазового сдвига между выходным и входным сигналами от частоты.

Рассмотренные частотные характеристики используют, например, для исследования устойчивости систем автоматического управления, для оценивания качества переходных процессов в них.