Анализ прецессионных уравнений
Решать уравнения будем путем приведения к одному уравнению.
Зададимся начальными условиями движения гирокомпаса
,
.
Начальные условия на угловые скорости находятся в силу исходных уравнений (5), (6):
Продифференцируем уравнение (6)
(7)
Найдем зависимость
от из уравнения
(5)
(8)
Подставим формулу (8) в (7)
или
,
(9)
где
- круговая частота.
Решим уравнение (9) при заданных начальных условиях
,
(10)
где
- частное решение неоднородного уравнения;
.
Значение угла
находим из выражения (6)
.
(11)
Из (10) и (11) определим константы интегрирования
;
.
Следовательно,
,
и (10) и (11) приобретают вид
;
(12)
.
(13)
Построение фазового портрета – траектории на картинной плоскости.
Преобразуем уравнения (12) и (13).
;
,
где
.
Или
,
где
.
где
.
Или
,
(14)
где
;
;
.
,
(15)
где
;
.
Так как
,
то, возводя (14) и (15) в квадрат и складывая,
получим
Д
вижение
на картинной плоскости будет иметь вид,
аналогичный изображенному на рис.4.
Относительно географического меридиана
ГК совершает незатухающие колебания с
амплитудами, зависящими от начальных
условий и параметров гирокомпаса. Причем
при наличии возмущающих моментов
колебания смещены относительно центра.
В реальных гирокомпасах принимаются следующие конструктивные подходы:
1) Колебания ГК должны затухать. Для этого в систему вводят специальные управляющие моменты (с помощью демпферных устройств).
2) В период запуска ГК должен приводится
в меридиан автономно в течение примерно
8 часов (несколько периодов М.Шулера,
мин.)
3) Периоды колебаний гирокомпаса должны удовлетворять периоду М.Шулера. Это объясняется тем, что маятниковые системы, обладающие таким периодом, обладают инвариантностью к ускорениям, то есть погрешность в определении курса не зависит от ускорений объекта.
САМОСТОЯТЕЛЬНО!
1. Рассмотреть, каким должен быть математический маятник с периодом колебаний, равным периоду М.Шулера.
2. Рассмотреть, каким должен быть физический маятник с периодом колебаний, равным периоду М.Шулера.
Физика работы гирокомпаса
Пусть в начальном положении
(то
есть ось внутренней рамки
находится на оси СЕВЕР – ЮГ, т.е. вектор
перпендикулярен плоскости меридиана
и, следовательно, горизонтален).
При пояснении физики работы учитываются 4 эффекта:
1. Наличие горизонтальной составляющей
угловой скорости вращения Земли
.
2. Смещение центра масс гиромаятникового гирокомпаса в соответствующем направлении.
3. Свойство вектора
сохранять свое положение в инерциальном
пространстве. Обеспечивает выход вектора
из
плоскости горизонта.
4. Свойство вектора прецессировать под действием внешних моментов.
Под действием и свойства п.3 вектор выходит из плоскости горизонта.
При выходе вектора из плоскости горизонта груз начинает создавать момент относительно оси гироузла такого направления, что вектор начинает двигаться в сторону меридиана.