4. Теоретические основы

4.1. Постановка задачи

Пусть некоторая функция f(x) задана своими значениями y_j=f(x_j) на дискретном множестве точек x_j., j=0,…,m. Требуется приближенно определить аналитический вид этой функции и тем самым получить возможность вычислить ее значения в промежуточных точках x(x_j,x_j+1). График, иллюстрирующий данную задачу, изображен на рис. 1.1.

Рис. 1.1. К задаче интерполяции функций.

Интерполирующую функцию будем искать в виде алгебраического многочлена

. (1.1)

Поскольку многочлен в узловых точках должен совпадать с заданными значениями функции, то задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений

(1.2)

относительно неизвестных a_i (k – номер начальной узловой точки, используемой в данном расчете).

Эта система уравнений имеет единственное решение (если mn+k, и все x_j различны), так как определитель этой системы – определитель Вандермонда - не равен нулю.

4.2. Методы решения задачи

Интерполяционный многочлен Лагранжа. Решение системы уравнений (1.2) можно представить в форме интерполяционного многочлена Лагранжа:

. (1.3)

В частном случае n=1 (линейная интерполяция)

,

а при n=2

.

Нетрудно заметить, что структура этих формул такова, что для каждой узловой точки x=x_j из входящих в набор используемых формулой узловых точек, только одно слагаемое отлично от нуля и именно то, в которое входит y_j. Кроме того, дробь, входящая в это отличное от нуля слагаемое, при x=x_j равна единице. Поэтому .

Интерполяционный многочлен Ньютона. Сначала необходимо дать несколько определений. Для упрощения записи введем обозначение: f_k=f(x_k).

Конечной разностью первого порядка функции f в точке x_k называется величина

,

а конечной разностью n-го порядка (n>1) величина

. (1.4)

Отсюда, в частности, следует, что разность второго порядка

.

Разделенными разностями нулевого порядка называются значения функции f_k. Разделенной разностью первого порядка называется величина

.

Разделенная разность n-го порядка определяется через разделенные разности n-1-го порядка по рекуррентной формуле

. (1.5)

Другое выражение разделенной разности n-го порядка

. (1.6)

Интерполяционным многочленом Ньютона называется алгебраический многочлен

.

. (1.7)

Этот многочлен тождественно равен многочлену n-й степени, записанному в форме Лагранжа или в какой-то другой форме в силу единственности интерполяционного многочлена.

Однако такая форма записи позволяет при необходимости увеличения степени многочлена не перестраивать весь многочлен заново, а только добавлять дополнительные слагаемые.

5. Методы оценки погрешности интерполяции

5.1. Оценка погрешности метода

Теоретическая оценка погрешности интерполяции. Справедлива следующая оценка погрешности интерполяции [1-4]

, (1.8)

где x_j - узлы сетки, , x – значение аргумента, где оценивается погрешность интерполяции.

Для непосредственного применения этой формулы необходимо иметь верхнюю оценку модуля n+1-й производной функции . Если речь идет об интерполяции известной функции по ее табличным значениям, то такая оценка может быть получена аналитически. Например, производная любого порядка от функций sinx и cosx по модулю не превышает единицы.

Необходимо отметить, что значения между узлами x_j вблизи концов интервала интерполяции существенно больше (по модулю), чем в середине. Кроме того, при увеличении n значения быстро растут. Отсюда следует, что повышение степени многочлена может привести к увеличению погрешности интерполяции, если с увеличением порядка производной достаточно быстро увеличивается ее величина.

Практическая оценка погрешности интерполяции по результатам численного эксперимента. В случае, когда интерполируемая функция является результатом численного решения некоторой задачи, вся информация об искомой функции исчерпывается ее значениями в узловых точках. Задача интерполяции при этом является некорректной, поскольку может существовать сколько угодно функций, графики которых проходят через данные точки (рис 1.2а). То есть, решение задачи может быть получено только с точностью до произвольной аддитивной составляющей, имеющей нулевые значения во всех заданных узловых точках.

В оправдание этого можно сказать, что если сетка выбирается произвольно, то существование функции, равной нулю именно в узловых точках этой сетки, маловероятно. Можно также указать разные способы использования нескольких сеток для повышения надежности получаемых результатов.

В случае, рассмотренном на рис 1.2б, функция имеет резкий всплеск на одном из частичных отрезков. При этом интерполяционная формула может просто «не заметить» этого всплеска, так как в узловых точках его влияние может быть очень малым. «Почувствовать» такой всплеск можно только при уточнении результата (например, путем повышения степени интерполяционного многочлена, сгущением сетки).

а)

б)

Рис. 1.2. Некорректность задачи интерполяции

Таким образом, хотя полностью исключить возможность ошибки (указания неправильной оценки погрешности результата), связанной с wнекорректностью задачи нельзя, но есть пути уменьшения такой возможности.

Рассмотрим способ оценки погрешности интерполяции, не требующий использования никакой другой информации, кроме значений функции в узловых точках.

Для этого на основании (1.8) представим математическую модель погрешности интерполяции в следующем виде

. (1.9)

Здесь - узлы некоторой сетки; j=0,..., , c - величина, предполагаемая независимой от положения узлов; k₁ - номер начального узла, используемого интерполяционной формулой; ₁(x) - дополнительная часть погрешности, полагаемая малой величиной по сравнению с первым слагаемым.

Теперь изменим сетку, используя новые узлы , j=0,..., . Тогда получим второе уравнение для нахождения неизвестных c и f(x)

. (1.10)

Вычитая (1.9) из (1.10) и пренебрегая малыми, найдем c

, , (1.11)

оценку погрешности интерполяции

(1.12)

и более точное значение функции

. (1.13)

Формировать разные сетки можно различными способами (например, уменьшением шага в 2 раза, выбором закона распределения узлов). В том числе для оценки интерполяции можно использовать значения функции в других узлах той же самой сетки. Последнее может оказаться более удобным с практической точки зрения. Способ выбора узлов также может быть различным.

Рассмотрим случай, когда второй набор состоит из узлов с номерами от k+1 до n+k+1 (т.е. k₁=k, k₂=k+1). В этом случае согласно (1.12) погрешность оценивается по формуле

, (1.14)

а (1.13) принимает вид

. (1.15)

Функция (1.15) в действительности представляет собой интерполяционный многочлен степени n+1, так как:

- является алгебраическим многочленом степени n+1;

- в узлах с номерами от i=k+1 до i=k+n оба многочлена и , а, следовательно, и , совпадают с ;

- ;

- .

Рекуррентная формула (1.15) используется при интерполяции по схеме Эйткена [1].

Таким образом, данный способ оценки погрешности интерполяции сводится к построению интерполяционного многочлена и сравнению проверяемых значений с как с более точными.