Лабораторная работа №1 интерполяция функций

1. Цель работы

Ознакомление с интерполяционными формулами Лагранжа, Ньютона, рекуррентным соотношением Эйткена, методами оценки погрешности интерполяции.

2. Задачи работы

Закрепление, углубление и расширение знаний студентов при решении практических вычислительных задач. Овладение вычислительными методами и практическими методами оценки погрешности вычислений. Приобретение умений и навыков при программировании и отладке вычислительных задач на компьютере.

3. Вводная часть

Интерполяция функций является одним из фундаментальных разделов вычислительной математики. До появления компьютеров для многих практических вычислений применялись таблицы элементарных функций (синусов, логарифмов и т. п.). Для получения достаточно точных результатов при значениях аргументов, расположенных между узловыми точками, для которых даны табличные значения функции, решалась задача интерполяции (в переводе - «между полюсами»). В наиболее простом случае соседние точки графика этой функции соединялись отрезком прямой (линейная интерполяция). Собственно, густота точек таблицы и выбиралась в расчете на интерполяцию. Например, выражение «четырехзначные таблицы» означает, что для любого значения аргумента, а не только для указанных в таблице в качестве узловых, путем интерполяции, (как правило, линейной) можно получить значение табулированной функции с точностью до четырех значащих цифр.

Основополагающее значение задачи интерполяции объясняется также тем, что многие методы решения задач численного дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных и интегральных уравнений сводятся к дифференцированию и интегрированию интерполяционного многочлена.

После появления компьютеров значение задачи интерполяции функций, заданных таблично, не потеряло актуальности, поскольку в результате численного решения сложных задач получается ряд значений искомой функции при разных значениях входного параметра. Получение большого числа таких значений сопряжено с большими затратами машинного времени. Применение интерполяции в этом случае позволяет существенно уменьшить эти затраты. Однако, в отличие от задачи интерполяции известной функции, в этом случае информация об искомой функции ограничивается таблицей ее значений. Эта задача является некорректной, поскольку существует бесконечное множество функций, имеющих заданное конечное число известных значений.

С подобными же проблемами приходится сталкиваться и при решении дифференциальных и интегральных уравнений. Поэтому можно сформулировать такой тезис: в вычислительной математике не существует корректных задач. Существуют только корректно поставленные задачи, т.е. искусственно придуманные условия, которые на практике, как правило, не выполняются в связи с недостатком информации о том, что является искомым.

В связи с этим задача интерполяции в реальных условиях есть важнейшая проблема вычислительной математики, решение которой позволяет найти ключ к решению многих других задач, необходимых для практики.