Пример № 4 решения задачи

Функция задана таблицей на равномерной сетке

,

.

Требуется построить схему для производной первого поряд­ка в точке

 – ?

Отдельно отметим, что в рассматриваемом случае значение функции в исследуемой точке , то есть величина , не за­дана, таким образом эта величина является неизвестной. Разложе­ние в ряд Тейлора в исследуемой точке не производится, но в рассматриваемом случае при разложении в ряд Тейлора в осталь­ных точках будет участвовать неизвестная величина . Этот тип задач является наиболее сложным, но решение является ана­логичным.

Решение задачи состоит из трех этапов. Этап первый состо­ит в разложении в ряд Тейлора в исследуемой точке всех имею­щихся значений функции и правильного использования свойства равномерности сетки. Второй этап состоит в выделении из пост­роенной на первом этапе системы линейных уравнений искомой величины, учитывая, что значение функции в исследуемой точке является неизвестным. Третий этап состоит в подборе коэффици­ентов, при использовании которых выражение для искомой вели­чины, даст схему наивысшего порядка точности.

Перейдем к первому этапу. Исследуемой точкой является точка , следовательно, необходимо записать разложение в ряд Тейлора значений функции в точках , , и .

В точке получаем

.

, ,

.

В точке получаем

.

, , ,

.

В точке получаем

.

, , ,

.

В точке получаем

.

, , ,

.