Пример № 2 решения задачи

Функция задана таблицей на равномерной сетке

,

.

Требуется построить схему для производной второго поряд­ка в точке

 – ?

Решение задачи состоит из двух этапов. Этап первый состо­ит в разложении в ряд Тейлора в исследуемой точке всех имею­щихся значений функции и правильного использования свойства равномерности сетки. Второй этап состоит в выделении из пост­роенной на первом этапе системы линейных уравнений искомой величины и подборе коэффициентов, при использовании которых сумма всех уравнений, умноженных на эти коэффициенты, даст схему наивысшего порядка точности.

Перейдем к первому этапу. Исследуемой точкой является точка , следовательно, необходимо записать разложение в ряд Тейлора значений функции в точках , и .

В точке получаем

.

, , ,

.

В точке получаем

.

, , ,

.

В точке получаем

.

, , ,

.

Переходим ко второму этапу решения задачи. Сначала тре­буется в каждом уравнении выделить искомое неизвестное. По условиям задачи искомой является величина . Запишим все уравенения так, чтобы эта величина содержалась в левой части:

,

,

.

Теперь требуется подобрать такие коэффициенты , и , что линейная комбинация полученных уравнений с этими ко­эффициентами даст схему максимального порядка точности. За­пишем эту линейную комбинацию:

.

Представим полученное уравнение в более удобном для нас виде, приведя подобные члены по степеням в правой части

.

Теперь преобразуем полученные выражения, вынося общие множители за знак квадратных скобок. В итоге получаем следую­щее равенство

.

Остается записать систему линейных уравнений для коэф­фициентов , и , решение которой позволит нам получить схему максимального порядка точности, то есть требуется обну­лить квадратные скобки у максимального количества степеней величины , начиная с младшей степени. В нашем случае млад­шей степенью является , то есть необходимо начинать с пер­вой по счету квадратной скобки.

.

Эту систему можно решать разными способами, в нашем случае разумно применить метод Гаусса. На первом шаге совер­шим следующие действия: из третьей строки вычтем первую, ум­ноженную на , результат запишем в качестве новой третьей строки, и из второй строки вычтем первую, результат запишем в качестве новой второй строки. Получим следующую систему

.

Теперь к третьей строке прибавим вторую, результат запи­шем в качестве новой третьей строки.

.

Теперь несложно вычислить все коэффициенты, начиная со значения числа :

.

Подставим полученные коэффициенты , и в по­следнее равенство для искомой величины , обозначив ко­эффициент при третьей степени величины символом :

Получен окончательный ответ. Интересно заметить, что по­лученная схема в точности совпадает со схемой для второй про­изводной по трем известным точкам, то есть прибавление еще одной точки не является информативным для находжения второй производной.

Пример № 3 решения задачи

Функция задана таблицей на равномерной сетке

,

.

Требуется построить схему для производной первого поряд­ка в точке

 – ?

Отдельно отметим, что в рассматриваемом случае значение функции в точке , то есть величина , не задана, таким об­разом эта величина является неизвестной, разложение в ряд Тей­лора в этой точке не производится.

Решение задачи состоит из двух этапов. Этап первый состо­ит в разложении в ряд Тейлора в исследуемой точке всех имею­щихся значений функции и правильного использования свойства равномерности сетки. Второй этап состоит в выделении из пост­роенной на первом этапе системы линейных уравнений искомой величины и подборе коэффициентов, при использовании которых сумма всех уравнений, умноженных на эти коэффициенты, даст схему наивысшего порядка точности.

Перейдем к первому этапу. Исследуемой точкой является точка , следовательно, необходимо записать разложение в ряд Тейлора значений функции в точках , , и .

В точке получаем

.

, , ,

.

В точке получаем

.

, , ,

.

В точке получаем

.

, , ,

.

Переходим ко второму этапу решения задачи. Сначала тре­буется в каждом уравнении выделить искомое неизвестное. По условиям задачи искомой является величина . Запишим все уравенения так, чтобы эта величина содержалась в левой части:

,

,

.

Теперь требуется подобрать такие коэффициенты , и , что линейная комбинация полученных уравнений с этими ко­эффициентами даст схему максимального порядка точности. За­пишем эту линейную комбинацию:

.

Представим полученное уравнение в более удобном для нас виде, приведя подобные члены по степеням в правой части

.

Остается записать систему линейных уравнений для коэф­фициентов , и , решение которой позволит нам получить схему максимального порядка точности, то есть требуется обну­лить квадратные скобки у максимального количества степеней величины , начиная с младшей степени.

Имеется всего три неизвестных, то есть система может сос­тоять только из трех уравнений. Первое уравнение есть уравне­ние нормировки — перед искомой величиной должен сто­ять коэффициент, равный единице. Еще два уравнения должны «уничтожать» первую и вторую степень величины , то есть в итоге мы должны получить схему третьего пордка точности.

.

Эту систему можно решать разными способами, в нашем случае разумно применить метод Гаусса. На первом шаге совер­шим следующие действия: к третьей строке прибавим первую, результат запишем в качестве новой третьей строки, ко второй строке прибавим первую, результат запишем в качестве новой второй строки. Получим следующую систему

.

Теперь из третьей строки вычтем вторую, умноженную на число , результат запишем в качестве новой третьей строки.

.

Теперь несложно вычислить все коэффициенты, начиная со значения числа :

.

Подставим полученные коэффициенты , и в по­следнее равенство для искомой величины , обозначив ко­эффициент при третьей степени величины символом :

.

Получен окончательный ответ.