Метод вузлових потенціалів

Розрахунок складних електричних кіл методом вузлових потенціалів, чи вузлових напруг, зводиться до рішення системи рівнянь, складених тільки за першим законом Кірхгофа. З цих рівнянь визначають напруги у вузлах схеми електричного кола, щодо деякого базисного вузла, потенціал якого приймають рівним нулю, а струми в колах, що з'єднують вузли, обчислюють за законом Ома.

Сутність цього методу розглянемо на прикладі електричного кола (рис. 2), джерела енергії якого задані у вигляді джерел струму.

Рис.2

Потенціал одного з вузлів, наприклад нульового, зафіксуємо і будемо вважати його рівним нулю. Такий вузол звичайно називають базисним вузлом. При цьому потенціали інших вузлів будуть дорівнюють напругам між цими вузлами і базисним вузлом.

Вибравши позитивні напрямки струмів, складемо рівняння за першим законом Кірхгофа для незаземлених вузлів:

J₁ = I₁ + I₃ = (φ₁ – φ₀₎ g₁ + (φ₁ – φ₀₎ g₃;

J₂ = I₂ - I₃ = (φ₂ – φ₀₎ g₂ + (φ₁ – φ₂₎ g₃;

де g₁ = 1/Z₁ ; g₁ = 1/Z₁ ; g₁ = 1/Z₁ .

З огляду на, те що φ₀ = 0, після перетворення одержимо;

J₁ = (g₁ + g₃)φ₁ – g₃ φ₂ ;

J₂ = - g₃ φ₁ + (g₂ + g₃) φ₂ ;

Позначивши g₁₁ = g₁ + g₃ ; g₂₂ = g₂ + g₃ ; g₁₂ = g₂₁ = - g₃ одержимо:

J₁ = g₁₁ φ₁ + g₁₂ φ₂ ;

J₂ = g₂₁ φ₁ + g₂₂ φ₂ ;

У загальному випадку для електричного кола, що має (n+1) вузлів, система рівнянь для визначення вузлових потенціалів буде мати вид:

g₁₁ φ₁ + g₁₂ φ₂ + … + g_1n φ_n = J₁

g₂₁ φ₁ + g₂₂ φ₂ + … + g_2n φ_n = J_{2 (1.8)}

…………………………………

g_n1 φ₁ + g_n2 φ₂ + … + g_nn φ_n = J_n

де: g_kk — власна провідність k-го вузла, рівна сумі провідностей усіх контурів, з'єднаних з цим вузлом; ця провідність завжди позитивна;

g_kj—взаємна провідність між k-м і j-м вузлами, рівна сумі провідностей гілок, що з'єднують ці вузли; ця провідність при обраному напрямку усіх вузлових напруг до базисного вузла для контурів, що не містять залежних джерел електричної енергії, завжди негативна;

J_k - вузловий струм k-го вузла, дорівнює алгебраїчній сумі струмів джерел струму, приєднаних до k-го вузла, ці струми беруться зі знаком «плюс», якщо вони спрямовані до вузла, і зі знаком «мінус», якщо спрямовані від вузла. Вище передбачалося, що джерела електричної енергії задані у вигляді джерел струму.

У випадку, якщо яке-небудь коло містить ідеальне джерело е.р.с., тобто його опір рівний нулю, то напруга між двома вузлами задана, доцільно як базисний вузол вибрати один з вузлів даного контуру. У цьому випадку, число невідомих вузлових напруг та число вузлових рівнянь скоротиться на одиницю.

Для пасивних кіл завжди справедлива рівність g_kj = g_jk ,а для активних – ця рівність виявляється недійсною.

Рішення одним з відомих методів системи рівнянь (1.8) дає можливість знайти потенціали вузлів, знаючи які, можна за законом Ома знайти струми у всіх колах. При розрахунку електричних кіл методом вузлових потенціалів доцільно дотримувати наступного порядку:

1.Прийняти потенціал одного з вузлів рівним нулю, тобто заземлити один з вузлів і пронумерувати один за одним інші вузли.

2. Обчислити вузлові струми.

3. Визначити власні і взаємні провідності вузлів.

4. Скласти і вирішити систему рівнянь вузлових потенціалів.

5. Знайти вузлові потенціали, а при необхідності знайти струми в контурах.