2). Первообразную функции находим по таблице интегралов:
Пример
2.8.
Вычислить интеграл
.
Решение.
Первообразную функции
находим непосредственно (методом
разложения):
2.21. Вычисление определённого интеграла подстановкой
Теорема
2.7.
(Замена
переменной в определённом интеграле).
Пусть функция
непрерывно дифференцируема на отрезке
и множеством значений функции
является
отрезок
;
причём
.
Пусть функция
определена и непрерывна на отрезке
.
Тогда справедлива следующая формула
.
(2.23)
Формула (2.23) носит название- формулы замены переменной в определённом интеграле.
Доказательство:
Пусть
и
– некоторые первообразные для функций
и
.
Используя правило дифференцирования
сложной функции, получаем, что
т.е. функция 
тоже является первообразной для
функции,
.
Тогда по теореме 1.1 найдётся такое число
,
что
где
Поэтому
Но по формуле
Ньютона-Лейбница
совпадает с правой частью равенства
(2.23), а
– с левой его частью.
Замечание
2.6. Как
и в случае неопределённого интеграла
замена переменной интегрирования
позволяет упростить интеграл, приблизив
его к табличному (табличным). При этом
в отличие от неопределённого интеграла
в данном случае нет необходимости
возвращения к исходной переменной
интегрирования. Достаточно найти пределы
интегрирования
и
по новой переменной
как решение относительно переменной
уравнений
и
На практике, выполняя замену переменной,
часто начинают с того, что указывают
выражение
новой переменной через исходную. В этом
случае нахождение пределов интегрирования
по переменной
упрощается:
Примеры 2.9.
4).
2.22. Вычисление определённого интеграла по частям
Теорема
2.8.
Пусть функции
и
непрерывно дифференцируемы на отрезке
.
Тогда имеет место следующая формула
(2.24)
Формулу (2.24) называют формулой интегрирования по частям для определённого интеграла.
Доказательство.
Поскольку
,
то функция
является первообразной
для функции
.
Функция
непрерывна
на отрезке
.
Поэтому она интегрируема на этом отрезке
(теорема 2.1). По формуле Ньютона-Лейбница
получаем:
,
что равносильно(2.24),
поскольку по определению дифференциала
и
.
Примеры
2.10. Вычислить
интегралы: 1)
;
2)
Решение.
1).
2).
.
2.23. Определённый интеграл и площади плоских фигур
Рассмотрение данного вопроса начнём с простых примеров
Пример 2.11. Вычислить интеграл
Решение.
т.е. значение данного интеграла равно 1. Исходя из геометрического смысла определённого интеграла, мы вычислили площадь фигуры, изображённой на рисунке 2.19
Рис. 2.19
Отсюда следует,
что
.
Напомним, что в п.2.18 отмечалось, что
возможен геометрический поход к
определению логарифмической функции.
Таким образом,