2.5. Определение интеграла
Интегральные суммы функции на отрезке изменяются при изменении дробления и оснащения отрезка. Возникает вопрос о пределе интегральных сумм.
Определение
2.1.
Функцию
называют интегрируемой
на отрезке
,
если при стремлении ранга дробления к
нулю
существует конечный
предел
интегральных сумм, не зависящий ни от
вида дробления
отрезка
,
ни от выбора соответствующего оснащения.
Этот предел называют интегралом
функции
по отрезку
и обозначают символом
.
Число называют также определённым интегралом функции по отрезку , чтобы подчеркнуть его отличие от неопределённого интеграла.
Итак,
-
.(2.1)
Здесь, как и в
случае неопределённого интеграла,
– подынтегральная
функция,
– подынтегральное
выражение.
Концы отрезка
называют пределами
интегрирования:
– нижний
предел,
–
верхний
предел,
– промежуток
интегрирования.
Замечание
2.1.
Условимся использовать символ
и в тех случаях, когда
.
Положим
-
(2.2)
-
(2.3)
2.6. Геометрический смысл определённого интеграла
Понятие определённого
интеграла введено таким образом, что в
случае, когда функция
неотрицательна
на отрезке
,
численно
равен площади
под кривой
(рис. 2.1).
Действительно,
при стремлении ранга дробления
к нулю ломаная (рис. 2.3) неограниченно
приближается к исходной кривой и площадь
под ломаной переходит в площадь под
кривой.
Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные формулы планиметрии для площадей плоских фигур.
Например,
и т.д.
Первый интеграл – площадь квадрата со стороной единичной длины (рис. 2.5.), второй – площадь прямоугольного треугольника с катетами единичной длины (рис. 2.6), третий – площадь четверти круга единичного радиуса (рис. 2.7).
Рис.2.5. Рис. 2.6. Рис. 2.7.
Замечание 2.2. Равенство согласовано с геометрическим смыслом определённого интеграла: в случае, когда отрезок интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю, поскольку это площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна нулю.
2.7. Обозначение интеграла
Интеграл от функции
по отрезку
- это число,
определённое функцией
и отрезком
,
и ничем другим.
Символ
содержит всё необходимое и достаточное
для чёткого обозначения интеграла от
функции
по отрезку
.
Однако на практике при вычислении
интегралов от конкретных функций вместо
символа
пишут символ
.
Буква
в символе
может быть заменена любой другой:
и т.д.
Важно только, чтобы
в скобках после
стояла та же буква, что и после буквы,
играющей роль разделительного знака.
Символ
в отличие от символа
обладает некоторыми техническими
преимуществами. Они проявляются тогда,
когда функция
определяется формулой, содержащей
различные буквы. В этих случаях именно
буквы, стоящие после буквы
играют роль независимой переменной.
Например, в обозначении
без лишних слов указано, что подынтегральная
функция есть функция от переменной
:
- квадратичная функция;
- параметры (коэффициенты) этой функции.
«Помимо технической
и логической этот выразительный символ
несёт ещё и некоторую эмоциональную
нагрузку. Знак
- это стилизованная буква
,
первая буква латинского слова Summa.
Символ
- это своего рода воспоминание о
неисчислимом множестве интегральных
сумм
которые, предшествуя появлению своего
предела, участвовали в его создании»
.