2.16. Теорема о среднем

Определение 2.2. Средним значением интегрируемой на отрезке функции называют величину

Теорема 2.2. (О среднем значении). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует такая точка , в которой функция принимает среднее на этом отрезке значение, т.е.

Доказательство. По свойству функции, непрерывной на отрезке, (первая теорема Вейерштрасса) для произвольного значения из справедливо соотношение , где и – наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. Тогда согласно (2.11) имеем

.

Положим

.

Итак, – некоторое число из промежутка . Но функция, непрерывная

на отрезке, принимает любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями (теорема о промежуточном значении). Поэтому, в частности, на отрезке найдётся такая точка , в которой значение функции равно . Отсюда следует формула (2.15).

Замечание 2.4. Пусть на . Тогда теорема о среднем утверждает: для непрерывной на отрезке функции найдётся такая точка из , что площадь под кривой на равна площади прямоугольника со сторонами и (рис. 2.16).

Формулу (2.15) называют формулой среднего значения.

Рис. 2.16

2.17. Интеграл с переменным верхним пределом.

Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема также на произвольном отрезке , вложенном в .

Определение 2.3. Функцию

называют интегралом с переменным верхним пределом.

Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть на отрезке . Тогда значение функции в точке равно площади под кривой на отрезке (рис. 2.16). В этом состоит геометрический смысл интеграла с переменным верхним пределом.

Рис. 2.17

Рассмотрим свойства интеграла с переменным верхним пределом

Теорема 2.3. Если функция непрерывна на отрезке , то функция также непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Пусть таково, что .

По теореме о среднем найдётся такая точка , что и, следовательно,

Переходя в последнем равенстве к пределу при и используя

теоремы о пределах, получим

что и доказывает непрерывность функции

Теорема 2.4. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке отрезка производная функции существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования, т.е.

. (2.17)

Доказательство. Воспользуемся равенством (2.16) из доказательства теоремы 2.3. Тогда

(2.18)

где – точка из отрезка . Переходя в последнем равенстве к пределу при и учитывая, что в силу непрерывности функции , приходим к (2.16).

Рассмотрим геометрическую интерпретацию доказательства теоремы 2.4.

Пусть на . Приращение функции равно приращению площади под кривой при изменении абсциссы от до . По теореме о среднем на отрезке найдётся такая точка , что площадь криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника со сторонами и т.е. и приходим к (2.18). При отрезок стягивается в точку, переходит в , а предел левой части равенства (2.18) равен