Тема 6. Числовые характеристики случайных величин Теоретические сведения

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число: . Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью называется число . Если вероятностная мера определяется функцией распределения, то .

Свойства математического ожидания:

1. , то .

2. : .

3. .

4. . В частности, .

5. Для независимых случайных величин : .

Дисперсией случайной величины называется число . Иногда для вычислений более удобна формула . Величина называется среднеквадратичным отклонением значений случайной величины от ее среднего.

Свойства дисперсии:

1. . В частности, , то .

2. .

3.Для независимых случайных величин : .

Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины: . Для дискретной: , для непрерывной: .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени соответствующей центрированной случайной величины: . Для дискретной величины: , а для непрерывной: .

Коэффициентом асимметрии или асимметрией распределения называется величина . Эксцессом случайной величины называется отношение .

Упражнения

1. Вычислить числовые характеристики показательного распределения. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание.

2. В нашем распоряжении имеется 5 лампочек, каждая из них с вероятностью 0.4 имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон, и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу перегорает, после чего заменяется другой. Построить распределение числа испробованных лампочек и найти числовые характеристики.

3. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид: . Найти числовые характеристики этой случайной величины.

4. Определить числовые характеристики случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

5. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых может появиться некоторое событие А. Вероятность события А в каждом опыте равна р. Опыты производятся до первого появления события А, после чего они прекращаются. Случайная величина  – число произведенных опытов. Построить ряд распределения этой случайной величины и найти ее математическое ожидание и дисперсию.

6. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Рассматриваются случайные величины:  – разность между числом попаданий и числом промахов;  – сумма числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой из случайных величин  и  ряд распределения. Найти их числовые характеристики.

7. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью . Найти характеристики этой случайной величины.

8. Автомашина проходит техосмотр и техобслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределено по закону Пуассона с параметром . Если неисправностей не обнаружено, техобслуживание продолжается в среднем 2 часа. Если обнаружены 1 или 2 неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено более 2 неисправностей, то машина ставится на профилактический ремонт, где она находится в среднем 4 часа. Определить закон распределения среднего времени Т обслуживания и ремонта машины и его математическое ожидание.

9. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной плотностью распределения:

а) ; б) .