Упражнения

1. Сколько можно составить сигналов из 6 флагов разного цвета, взятых по 2?

2. Сколькими способами можно из 20 студентов группы выбрать старосту и профорга?

3. Сколькими способами можно разложить 8 разных писем по 8 разным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

4. 12 человек играют в городки. Сколькими способами они могут набрать команду из четырех человек на соревнования?

5. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего игр?

6. Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в три вагона?

7. Сколько будет костей домино, если использовать в их образовании все цифры?

8. Десять книг (7 книг различных авторов и трехтомник одного автора) помещены на книжной полке. Сколькими способами их можно расставить на полке так, чтобы книги автора трехтомника стояли рядом?

9. Сколькими способами можно рассадить на скамейке пять человек?

10. Сколько всего четырехзначных чисел, делящихся на 2?

11. В подразделении 30 солдат и три офицера. Сколькими способами можно выделить патруль, состоящий из трех солдат и одного офицера?

12. Сколькими способами можно разделить группу из 15 человек на две группы так, чтобы в одной было 4 человека, а в другой 11?

Тема 2. Непосредственный подсчет вероятностей Теоретические сведения

Некоторый эксперимент будем называть случайным экспериментом, если его исходы неоднозначны. Исходы случайного эксперимента называются случайными событиями и обозначаются А, В, С. Каждый из возможных результатов эксперимента называется элементарным случайным исходом.

Пример 1. Игрок бросает игральный кубик. Бросок – это эксперимент. Появление грани с точками – событие. А = {1} – появление грани 1, В = {н} – появление нечетной грани.

Пример 2. В урне есть пронумерованные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны – эксперимент. Появление шара с определенным номером – событие.

Событие называется достоверным, если оно осуществляется при каждой реализации случайного эксперимента и обозначается W. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, оно обозначается Æ.

Событие А влечет за собой событие В , если при каждом осуществлении события А осуществляется событие В. Для любого события А: . События А и В называются эквивалентными , если одновременно и .

Объединением (суммой) событий ( ) называется событие, эквивалентное осуществлению или события А или В. Для любого события А: .

Пересечением (произведением) событий ( ) называется одновременное осуществление событий А и В. Если пересечение двух событий является невозможным событием, то они называются несовместными. Для любого события А: .

Разностью событий называется событие, при котором произошло событие А, но не произошло В.

Событие называется противоположным событию А, если оно осуществляется тогда и только тогда, когда событие А не осуществляется. Два события взаимно противоположны, если: а) ;b) . Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате эксперимента появится одно и только одно из них, т.е. выполнятся условия: a) , b) .

Пример 1. Эксперимент состоит в 5 выстрелах по мишени. Даны события А₀ – ни одного попадания, А₁ – ровно 1 попадание, А₂ – ровно 2 попадания, А₃ – ровно 3 попадания, А₄ – ровно 4 попадания, А₅ – ровно 5 попаданий. Тогда А = А₀ + А₁ + А₂ – событие «не более 2 попаданий», а В = А₃ + А₄ + А₅ – событие «не менее 3 попаданий»

Пример 2. По мишени производится 3 выстрела. Даны события А₁ – промах при 1-м выстреле, А₂ – промах при 2-м выстреле, А₃ – промах при 3-м выстреле. Тогда событие А = А₁ + А₂ + А₃ состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.