36. Частные поризводные различных порядков

Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: , ,

Производные f''xx, f''xy, f'' yx, f"yy называются частными производными второго порядка

37. Проиводная по направлению. Градиент

В случае функций нескольких переменных можно определить производную по направлению, то есть в предположении, что переменные изменяются в данном направлении. Производная функции по направлению вектора определяется следующим образом:

Если направление совпадает с направлением некоторой координатной оси, то производная по этому направлению фактически является соответствующей частной производной. Можно показать, что производная по направлению равна скалярному произведению вектора градиента на нормированный вектор направления (то есть вектор направления единичной длины, что можно получить из любого вектора направления делением на его длину):

38. Максимум и минумум двух переменных

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной. Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0).

43) Интегрирование по частям. Если функции  u ( x )  и  v ( x ) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл   v ( x ) du ( x ), тосуществует и интеграл   u ( x ) dv ( x ) и имеет место равенство:  u ( x ) dv ( x ) = u ( x ) • v ( x ) –   v ( x ) du ( x )

или в более короткой форме:  u dv = u v –   v du .

Обратите внимание, что интегрирование по частям и дифференциал произведения являются взаимно обратными операциями (проверьте!).

П р и м е р .	Найти интеграл:   ln x dx .
Р е ш е н и е.	Предположим u = ln x и dv = dx, тогда du = dx/x и v = x. Используя формулу интегрирования по частям, получим:

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Если функция  f ( z ) определена и имеет первообразную при  z   Z ,  а  функция  z = g ( x )имеет непрерывную производную при  x   X  и её область значений  g ( X )   Z , то функция  F ( x ) =  f  [ g ( x )]  g' ( x ) имеет первообразную на  Х  и  F ( x ) dx =   f [ g ( x )] • g' ( x ) dx =   f ( z ) dz .

44) Интегрирование простейших рациональных дробей.

 

Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то   - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.

Любую неправильную дробь можно представить в виде:     ,

где

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

 

a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как   является правильной дробью.