22.Необходимое условие экстремума функции.
Функция
может
иметь экстремум только в точках, где 
или
производная не существует. Точка,
где
или
производная не существует
называется критической
точкой.
Заметим,
что если в точке
выполняется,
что
,
то это означает, что касательная в данной
точке параллельная оси 
.
Если производная в точке
не
существует, то это значит либо касательная
вертикальная, либо ее нет в данной точке.
23.Достаточные условие экстремума функции.
Если
функция
непрерывна
в точке
и
имеет в некоторой окрестности точки
,
кроме, быть может самой точки
,
конечную производную и если при
переходе 
через
точку
:
меняет
знак с '+' на '-', то точка
--
точка максимума;
меняет знак с '-' на '+', то точка -- точка минимума;
не меняет знак, то точка не является точкой экстремума.
24) ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ С ПОМОЩЬЮ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Правило исследования функции y = f(x) на максимум и минимум с по мощью второй производной. Если при подстановке критического значения аргумента вторая производная окажется отрицательной, то при этом значении аргумента функция имеет максимум, если положительной — то минимум. Для этого ,в данную функцию y = f(x) вместо аргумента х подставить те критические значения аргумента, при которых функция имеет максимум или минимум. Построить график функции по найденным точкам кривой (точки максимума и минимума функции, точки пересечения кривой с осями Ох и Оу). Исследовать на максимум и минимум с помощью второй производной функции. 4) Вторая производная положительна, следовательно, функция имеет при найденном критическом значении аргумента х—\ минимум (рис. При х—4 функция имеет минимум; 5) найдем максимальное и минимальное значения функции: ^=4 = 43-9-42-f 24-4- 12=4; 6) составим таблицу: V —12 8 _ 4 fe Точка пересече- Максимум функции Минимум функции ния с осью Оу Вторая производная равна нулю, поэтому невозможно установить, что имеет функция: максимум или минимум. Производная знак не меняет, следовательно, функция при х= 1 не имеет ни максимума «и минимума. При х=2 функция имеет минимум; Следовательно, функция при я=1 имеет минимум;
25. Правило исследования функции y = f(x) на максимум и минимум с помощью первой производной 2) производная меняет знак с (—) на ( + ), то функция y=f(x) при x=xi имеет минимум; 3) знак производной не изменяется, то функция не имеет при х = х\ ни максимума ни минимума. Для этого в данную функцию y=f(x) вместо аргумента х подставить те критические значения аргумента, при которых функция имеет максимум или минимум. Построить график по точкам кривой (точки максимума и минимума функции, точки пересечения кривой с осями Ох и Оу). Исследовать на максимум и минимум функции. Производная меняет знак с (—) на ( + ), следовательно, функция при х = 2 имеет минимум. У 0 —4 0 Минимум функции Точка пересече ния с осью Ох В дальнейшем вершину параболы можем находить как точку максимума или минимума функции. Следовательно, функция при х = 4 имеет минимум; 4) найдем минимальное значение функции: У 12 0 -4 0 Точка пересечения с осью Оу Точка пересечения с осью Ох Минимум функции Точка пересечения с осью Ох и построим параболу у = х*—8х+ 12 (рис. Производная меняет знак с ( — ) на ( + ), следовательно, функция при t = 2 имеет минимум; Производная меняет анак с (—) на ( + ), следовательно, функция при д; = 0 имеет минимум; Производная меняет знак с (—) на ( + ),, следовательно, функция при х=2 имеет минимум; У 0 —4 0 Максимум функции Минимум функции Точка пересечения с осью Ох Производная меняет знак с (—) на ( + ), функция при = 2 имеет минимум; У —8 —3 -* Точка пересечения Максимум функции Минимум функции с осью Оу