1)Таблица производных

2 Некоторые правила дифференцирования

Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u∙v, . Последнее при условии, что v´(x)≠0. Причем, (u+v)´=u´+v´, (uv)´=u´v+uv´

Дифференцирование функций, заданных параметрически

• П усть функция y от х задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), t э (α;β).

Пример

поэтому

3) Дифференциалы функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x . Следовательно, в точке x существует конечная производная

Тогда по определению предела функции разность

является бесконечно малой величиной при . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим

Если то в правой части равенства (2) первое слагаемое линейно относительно Поэтому при

оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и Второе слагаемое бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение стремится к нулю при

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше т ем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях приращение функции можно приближенно заменить его главной частью т.е.

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают

Следовательно,

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

- наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении x на величину

Пример 1. Найти дифференциалы функций:

Решение. Применяя правила дифференцирования степенной и логарифмической функций, по формуле (7) находим:

4) Геометрический смысл дифференциала функции

5) Производные высших порядков

Производной n-го порядка функции f (x) называют производную от производной (n-1)-го

6. Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у=ƒ(х) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производую от неявной функции. В нее войдут х,у,у¢ . Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

7. Производнаявысших порядков параметрически заданных функций.

Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически на интервале Т:

, 

Найдем  . Известно, что  =   =   (п. 4.3), поэтому

=   =  =  =  .

Аналогично будет вычисляться   и т. д.

8. Если вещественная функция, непрерывная на отрезке   и дифференцируемая на интервале  , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.