8. Законы распределения результата измерения

В практике измерений законы распределения могут быть различными, но при анализе погрешностей реальный закон обычно аппроксимируют каким-нибудь более простым законом. Наиболее применимы законы распределения: нормальный; закон распределения Стьюдента; равномерный; арксинусный; а также их композиции (трапециидальный, треугольный и др.)

Пусть абсолютная погреш­ность результата измерений является случайной и обозначается . Аналитически случайная погрешность измерений описывается с помощью аппарата теории вероятностей и математической статистики. При такой оценке обычно интересуются вероятностью р того, что погрешность результата измерений  находится в некотором заданном интервале распределения погрешностей (_r1, _г2), где _г1 и _г2 — соответственно нижняя и верхняя границы интервала. Записывается данная вероятность как р(_r1_г2).

В общем случае 0  р  1. Для определения значения вероятности р(_r1_г2) необходимо знать закон () распределения случайной погрешности , называемый плотностью распределения вероятностей (или плотностью вероятно­стей) случайной погрешности .

Нормальный закон распределения

Распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному, когда результаты наблюдений формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказыва­ет незначительное влияние по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Для нормального закона распределения вероятность того, что случайная составляющая погрешности измерения не выходит за пределы +_m:

3, составляет 0,9972; 2,6, составляет 0,99;

2, составляет 0,95; 1,6, составляет 0,9.

Равномерный закон распределения

Данный закон применяется тогда, когда случайная погрешность измерений с идентичной плотностью вероятности принимает любые значения в ог­раниченном интервале.

Равномерное распределение имеют: погрешность квантования в цифровых приборах, погрешность округления при расчетах, при отсчете показаний аналоговых приборов, погрешность от трения в стрелочных приборах, погрешность определения момента времени для каждого из концов временного интервала в электронных цифровых частотомерах.

Изменение напряжения питания вследствие постепенно разряда гальванических источников тока можно приближенно считать линейной функций времени. Можно считать равномерным распределение погрешности от изменения температуры окружающей среды для приборов, работающих в цеховых или лабораторных условиях. Все возможные случайные погрешности результата измерений, опи­сываемых равномерным законом, расположены в интервале (-_m, _m), где _m — максимальная погрешность.

Для равномерного закона, симметричного относительно центра  = 0, расчет СКО  случайной погрешности выполняется с помощью известного из теории вероятностей выражения для дисперсии - случайной величины:

Треугольный закон распределения (закон Симпсона)

Закон характерен для случайных погрешностей цифровых приборов, в которых измеряемая величина преобразуется в пропорциональный интервал времени, называемый временем счета, а измерение этого интервала выполняется с помощью счетных импульсов стабильного генератора. В связи со случайным положением счетных импульсов относительно интервала счета, а также случайным соотношением между периодом и временем счета треугольный закон представляет собой композицию двух равномерных законов с одинаковыми по величине максимальными погрешностями _m:

Трапецеидальный закон является композицией двух равномерных с различными значениями максимальных погреш­ностей _m. Если трапецеидальный закон распределения неизвестен, то обычно принимают равномерное распределение погрешностей.

Арксинусный закон распределения

Одной из составляющих погрешности, характерной для электрических средств измерений является погрешность от наводки на входе прибора или линии связи синусоидального напряжения силовых цепей с частотой 50 и 400 Гц. Эта помеха, складываясь с полезным сигналом, создает, как правило, аддитивную погрешность. Распределение такой погрешности называется арксинусоидальным, для него

В общем случае погрешность ре­зультата измерения представляет собой сумму систематической _c и случайной  погрешностей. При этом рассеяние значений случайной погрешности происходит относительно некоторого центрального значения, равного величине систематической погрешности.

В метрологии вводится понятие квантильных оценок погрешности, т.е. значений погрешности с заданной доверительной вероятностью Р_д. В теории и практике измерительной техники общепринятая доверительная вероятность от 0,9 до 0,99. Удобней всего доверительную погрешность снабжать индексом, численно равным принятой доверительной вероятности, т.е. писать, например ^0.90 при Р_д =0.9, или ^0.95 при Р_д =0.95.

Доверительная погрешность обладает тем уникальным свойством, что для широкого класса наиболее употребительных законов распределения вероятностей только она имеет однозначное соотношение со средним квадратическим отклонением в виде ^0.9 =1.6 вне зависимости от вида распределения. Поэтому при отсутствии данных о виде закона распределения для определения двусторонней доверительной вероятности используют Р_д=0.9.