2.5. Найти оптимальный план подвоза, заполнив все необходимые таблицы.

Решение задачи методом потенциалов, после того как начальный план построен, состоит из последовательности итераций, на каждой из них построенный ранее план проверятся на оптимальность и, если он не оптимален, то строится новый лучший план. Не излагая строго метод потенциалов, дадим его экономическую интерпретацию. Для этого под складами будем понимать пункты производства, а под транспортными издержками - стоимость доставки единицы материальных средств.

Проверка плана на оптимальность. Итак, у нас имеется некоторый план доставки материальных средств. Требуется назначить в пунктах производства и в пунктах потребления цены на материальные средства так, чтобы с учетом принятого плана подвоза цена в пункте потребления равнялась бы цене в пункте производства плюс транспортные издержки. Поскольку нас интересует соотношение цен, а не их абсолютные значения, то цену в первом пункте производства назначим, положив её равной нулю. С первого склада мы поставляем продукцию первому потребителю, значит, цена в первом пункте потребления должна быть равной  0+5=5. Аналогично, во втором пункте потребления цена равна 0+7=7. Далее, во второй пункт потребления запланирована поставка из второго пункта производства, значит, цена в этом пункте равна 7-4=3 и т.д. В теории эти цены называются потенциалами. В крайнем правом столбце таблицы, значения потенциалов пунктов производства указаны в нижней строке таблицы (таб.9).

Таблица 9

Первая инерация

Клады	П о т р е б и т е л и					Потенци- алы складов
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	5 70	7 30 -	12 6	Г 9 16 +	0 11	0
A2	13 -11	4 100+	15 40 -	8 14	0 8	3
A3	6 -12	10 -14	7 180+	14 60 -	0 60	11
Потен- циалы Потреб.	5	7	18	25	11

При вычисленных ценах транспортная организация, используя маршруты в соответствии с рассматриваемым планом, не несет убытков, но и не имеет доходов. Рассмотрим те клетки таблицы, в которых не указаны объёмы подвоза (они называются  небазисными), и определим, какую прибыль может иметь транспортная организация, перевозя единицу груза по соответствующему маршруту. Прибыль равна, очевидно, цене в пункте потребления минус транспортные расходы минус цена в пункте производства. Эти доходы указаны в левых нижних углах небазисных клеток таблицы 9.

Если маршрутов, дающих прибыль, нет, то рассматриваемый план оптимален, в противном случае строим новый лучший план.

Построение нового плана. Выбираем клетку с максимальной прибылью, если таких клеток несколько, берем любую из них. Выбранная клетка называется генеральной. В таблице 9 она отмечена буквой "Г".

Строим цикл пересчёта - замкнутую ломаную линию, все звенья которой горизонтальны или вертикальны, вершины цикла должны находиться в базисных клетках и одна из них в генеральной. Размечаем вершины цикла (клетки, в которых они находятся): в генеральную клетку ставим знак "+" и, выбрав направление обхода цикла (всё равно какое), отмечаем остальные его вершины знаками "-" и "+" по очереди. В таблицах эти знаки указаны в правых нижних углах соответствующих клеток. Из клеток, отмеченных знаком "-", выбираем клетку с минимальным объёмом подвоза, если их несколько, берём любую (заметим, что выбор в этом случае произвольной клетки может привести к зацикливанию метода, но это встречается чрезвычайно редко, в литературе имеются приемы, позволяющие избежать зацикливания), выбранная клетка называется  ключевой. Обозначим объём подвоза в ключевой клетке буквой q.

Строим новый план. В клетках, отмеченных знаком "+" увеличиваем объём подвоза на q, в клетках со знаком "-" уменьшаем объём подвоза на q, при этом нуль в ключевую клетку не записываем. Остальные клетки оставляем без изменения.

Отметим, что суммарные расходы по доставке грузов уменьшаются при этом в точности на величину прибыли, получаемой транспортной организацией при использовании генерального маршрута для подвоза по нему q единиц груза.

После построения нового плана проверяем его на оптимальность и т.д.

В следующих таблицах приведено решение рассматриваемого примера. Заметим, что получение отрицательных цен не должно смущать, ведь мы же произвольно назначили цену на продукцию в первом пункте, нас интересуют не абсолютные значения цен, а

Таблица 10

Вторая итерация

Клады	П о т р е б и т е л и					Потенци- алы Складов
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	5 70	7 -16	12 -10	9 30	0 -5	0
A2	13 5	4 100	15 10 -	Г 8 14 +	0 8	-13
A3	6 -14	10 -14	7 210+	14 30 -	0 60	-5
Потен- циалы Потреб.	5	-9	2	9	-5

Таблица 11

Оптимальный план

Клады	П о т р е б и т е л и					Потенци- алы Складов
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	5 50	7 -2	12 -5	9 50	0 -1	0
A2	13 -9	4 190	15 -10	8 10	0 -2	1
A3	6 20	10 -4	7 220	14 -4	0 60	-1
Потен- циалы Потреб.	5	5	6	9	-1

соотношения между ними. Всегда можно так назначить цену в первом пункте производства, что все остальные цены будут положительными. Убедитесь в этом сами на примере приведенных таблиц.

План, представленный таблицей 11, является оптимальным. В соответствии с этим планом требуется 50 тонн доставить с первого склада первому потребителю,  50 тонн - с первого склада четвёртому потребителю, 190 тонн - со второго склада второму потребителю, 10 тонн - со второго склада четвертому потребителю, с третьего склада первому потребителю везем 20 тонн, третьему - 220 тонн и пятому (фиктивному) – 60 тонн (они остаются на третьем складе). Суммарные издержки составляют 3200 рублей:

5×50+9×50+4×190+8×10+6×20+7×220+0×60=3200.