§15. Дифференцирование сложных функций

Как и в случае одной переменной, в случае ФМП, рассматриваются сложные функции (функции от функций). При этом как сами функции, так и их промежуточные аргументы могут быть функцией любого числа переменных.

1). Пусть задана функция , а аргументы x и y являются функциями от независимой переменной t:

.

Теорема 1.

Если функция дифференцируема в точке , а функции дифференцируемы в точке , то производная по переменной сложной функции существует и вычисляется по формуле:

Доказательство:

Зададим аргументу приращение , тогда функции и получат соответствующие приращения и , а функция - приращение . Так как функция дифференцируема (она имеет непрерывные частные производные и ), то ее приращение можно представить в следующем виде:

.

Так как функции и дифференцируемы, то они непрерывны, поэтому при приращения и , а также .

Разделим последнее равенство почленно на :

.

Перейдём к пределу при .

,

,

.

Так как

то

.

Ч.Т.Д.

2). Пусть аргументы функции z = f (x, y) являются, в свою очередь, функциями двух переменных u и v:

x = x (u, v),

y = y (u, v).

Тогда функция f тоже есть функция от u и v. Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v, не делая непосредственной подстановки z = f ( x(u, v), y(u, v)).

При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.

Теорема 2.

Если функция дифференцируема в точке , а функции дифференцируемы в точке , то частные производные сложной функции существуют и вычисляются по формулам:

Доказательство:

Зададим аргументу u приращение Δ u, не изменяя аргумент v. Тогда

.

Если же задать приращение только аргументу v, получим:

.

Разделим обе части первого равенства на Δu, а второго равенства– на Δv и перейдем к пределу соответственно при Δu→0 и Δv→0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у

.

,

,

,

Следовательно,

Ч.Т.Д.

Замечание.

Если функция является функцией переменных, каждая из которых в свою очередь также является функцией переменных:

,

то частных производных находятся по формулам:

.

3). Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х, то есть х и у связаны соотношением

у = у (х).

Значит, функция z является функцией одной переменной х. Используя формулу случая 1) при t = x и учитывая, что , получим, что

Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции z по аргументу х: слева стоит так называемая полная производная, в отличие от частной, стоящей справа.

Примеры

1. Пусть z = xy, где x = u² + v, y = uv². Найти и .

Для этого предварительно вычислим частные производные трех заданных функций по каждому из своих аргументов:

Тогда из формулы получим:

(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v).

2. Найти полную производную функции z = sin (x + y²), где y = cos x.