3.3. Математический аппарат частотной модуляции

При частотной модуляции, как от­мечалось ранее, изменяется мгновенная частота сигнала в соот­ветствии с изменениями управляющего низкочастотного колеба­ния:

(4.23)

где: a – коэффициент пропорциональности.

Девиация частоты в данном случае описывается выражением:

(4.24)

и характеризует максимальное изменение частоты относительно ее исходного значения . Тогда мгновенную частоту можно за­писать в виде

(4.25)

Поскольку частота ха­рактеризует скорость изменения фазы, то ее значение можно най­ти, проинтегрировав последнее выражение:

(4.26)

Таким образом, получим выражение ЧМ-сигнала в виде:

(4.27)

Здесь слагаемое в составе аргумента косинуса характеризует изменения мгновенной фазы в процессе частотной модуляции. Следовательно, ЧМ-сигнал можно отождествить с ФМ-сигналом, у которого индекс модуляции:

(4.28)

Тогда окончательно выражение для ЧМ-сигнала примет вид:

(4.29)

т. е. оно практически совпадает с выражением для фазовой модуляции.

Из сказанного следует, что фазовая и частотная модуляции имеют много общего, они имеют следующие принципиальные различия:

• при фазовой модуляции индекс М пропорционален ампли­туде низкочастотного колебания A(t) и не зависит от частоты , а де­виация , наоборот, связана с частотой модулирующего сигна­ла прямой пропорциональной зависимостью.

• при частотной модуляции девиация частоты зависит только от амплитуды модулирующего колебания A(t), и не связана с его частотой. Индекс модуляции в этом случае обратно пропор­ционален низкой частоте управляющего сигнала .

3.4. Спектр сигнала при угловой модуляции

Для спектрального анализа сигнала при угловой модуляции, обыч­но рассматривают узкополосную и широкополосную угловые модуляции. В первом случае считается, что индекс модуляции M<0,5 рад, а во втором - M>0,5 рад. Чаще всего в системах телекоммуникаций применяется широкополосная частотная моду­ляция с индексом M>>1, так как она более помехоустойчивая.

Спектр сигнала при узкополос­ной угловой модуляции похож на спектр простейшего АМ-сигнала. В данном спектре также содержится не­сущее колебание и две боковые составляющие. Ширина спектра при узкополосной угловой модуляции также рав­на удвоенной частоте модуляции. Однако наблюдается существенное отличие ее от АМ-сигнала: нижняя боковая составляющая имеет дополнительный сдвиг фазы 180⁰ (рис 4.9.).

Рис. 4.9

Спектр сигналов при широкополос­ной угловой модуляции являет­ся дискретным и состоит из несущего колебания с частотой ω_p и бесконечного числа сим­метрично расположенных боковых составляющих с частотами . В целом с увеличением индекса модуляции полоса частот увеличивается, поэтому теоретически спектр сигналов с угловой модуляцией является бесконечно широким. На практике ширину спектра ограничивают значением .