Степінь і

і¹=і, і²=-1, і³=-і, і⁴=1, і⁵=і, і⁶=-1, і⁷=-і, і⁸=1, і⁹=і.

Значення степеня періодично повторюється.

i^4m=1, i^4m+1=i, i^4m+2=-1, i^4m+3=-i.

Щоб піднести число і до степеня з натуральним показником, треба показник степеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.

Приклад: і³⁴ = і^4*8+2 = і² = -1.

Модуль і аргумент комплексного числа.

Означення. Модулем комплексного числа z=a+bi називається довжина вектора, яка відповідає цьому числу.

y

z=a + bi

b

0 a x

Означення. Аргументом комплексного числа називається величина кута між додатним напрямком дійсної осі й вектором z, при чому величину кута вважають додатною, якщо відлік ведуть проти стрілки годинника, і від'ємною, якщо відлік ведуть за стрілкою годинника.

Аргумент знаходимо з системи :

Іноді користуються формулою tg .

Тригонометрична форма комплексного числа

З системи знайдемо a і b:

a= , b= тоді

z=a + bi=

z= – тригонометрична форма запису комплексного числа.

Приклад. Подати число z=1-i у тригонометричній формі.

Розв’язання:

,

z= або

(Кут, косинус якого додатній, а синус від’ємний знаходиться у четвертій чверті).

Дії над комплексними числами,заданими в тригонометричній формі.

1. Множення і ділення комплексних чисел, записаних у тригонометричній формі.

) і

Модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів цих чисел, сума аргументів співмножників є аргументом добутку.

Для частки, помноживши чисельник і знаменник на число, спряжене знаменнику, дістанемо:

Модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів цих чисел, різниця аргументів діленого й дільника є аргументом частки.

де – арифметичний корінь,

k=0, 1, 2, 3,…, n-1.

2. Піднесення до степеня і добування кореня

Модуль добутку п комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників, сума аргументів всіх співмножників є аргументом добутку комплексних чисел.

Маємо формулу:

,

яка дає правило піднесення комплексного числа до цілого додатного степеня:

при піднесенні комплексного числа до степеня з натуральним показником його модуль підноситься до степеня з тим самим показником, а аргумент множиться на показник степеня.

Число z називається коренем степеня п з числа (позначається ), якщо zⁿ = .

і ,

i .

3. Приклади

Виконати дії:

1. 

Розв’язання.

, r₁=1, γ₁ = ;

z₂ = 2( , r₂ = 2, γ₂ = ;

z₃ = , r₃ = , γ₃ = .

Отже, z =

2. Піднести до дев’ятого степеня комплексне число

Розв’язання.

(IV чв.)

3. Знайти всі значення .

z = 1= cos 0 + i sin 0

k=0, z₀=cos 0 = i sin 0=1

k=1, z₁= cos = , так як

k=2, z₂= cos =

Відповідь: 1; ; .

4. Знайдіть всі значення

z_k = 2

(k = 0, 1, 2, 3).

Отже,

z₁ z₁ z₀ z₀ =

z₂ z₃

На цьому рисунку зображено всі чотири значення . Точки, які відповідають числам , , , , лежать у вершинах квадрата, вписаного в коло радіуса 2, з центром у точці =0.

5. Дії над комплексними числами, заданими в показниковій формі:

1.

2. =

3.

4.

Приклади:

1. Записати в показниковій формі комплексне число

число лежить в четвертій чверті, отже γ=

2. Записати в показниковій формі

Розв’язання