Вопрос 39. Условный экстремум. Необходимые и достаточные условия. Метод множителей Лагранжа.

Опр. Пусть GR^a-открытое множество, МG – C¹многообразие размерности p и задана функция f:G→R. Будем говорить, что функция f имеет условный максимум в точке aM, если  окрестность U_a точки а, для которой хUa f(x)f(a). Если окрестность U_a можно выбрать так, что хU_a f(x)<f(a), то a называется точкой строгого условного максимума. Заменяя в неравенствах знаки неравества на противоположные, получим определение условного минимума и строгого условного минимума. Объединяющий термин для условного максимума и минимума – это условный экстремум.

Теорема (Необходимое условие). Пусть функция f имеет условный экстремум в точке a многообразия М и дифференцируема в этой точке, тогда  hT_a(M) f ’(a)=0.

1-е достаточное условие экстремума.

Пусть f непрерывна в критической точке c и дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(c).Наличие характера экстремума f в точке с зависит от распределения знаков производной а =f`(x) в левой и правой окрестности точки с и характеризуется следующим образом

Знак произв. В U-(c)	Знак произв. В U+(c)	Наличие и характер лок. экстремума в точке.с
		Строгий локальный максимум
		Строгий локальный минимум
		Нет экстремума
		Нет экстремума

2-е достаточное условие экстремума.

Пусть функции дважды дифференцируемы в точке с, f `(c)=0, f ``(c) 0, если f ``(c)>0, то функция f имеет строгий локальный min в точке с, если f ``(c)<0, то функция f имеет строгий локальный max в точке с.

3-е достаточное условие экстремума.

Пусть в окрестности U(c) стационарной точки c функция f имеет производные до порядка k-1 и существует f (c). Пусть f `(c)= f ``(c)=…= f (с), f (с) 0, тогда при нечетном k функция f не имеет экстремума в точке с, если k четно то при f (с)>0, f имеет в точке c строгий локальный min, при f (с)<0, f имеет в точке c строгий локальный max.

Теорема (метод множителей Лагранжа). Пусть МRⁿ – C¹ многообразие размерности р, (U_a,) – карта, содержащая точку аМ. Пусть ещё задана функция f:U_a→R, дифференцируемая в точке a. Тогда если f имеет в точке a условный экстремум на М, то  такие числа ₁,...,_n-p что производная функции в точке а равна 0.

Числа ₁,...,_n-p, называются множителями Лагранжа. Многообразие задаётся уравнениями _k(x)=0, k=1,…n-p (которые называются уравнениями связи). Точка а (удовлетворяет уравнениям связи, т.е. многообразию) условного экстремума функции f ищется следующим образом. Вводится вспомогательная функция (функция Лагранжа), где ₁,...,_n-p, - неопределенные множители. Координаты точки x=(x₁, ..., x_n) и множители ₁,...,_n-p определим из системы уравнений:

На самом деле нет необходимости решать эту систему полностью. Множители Лагранжа играют лишь вспомогательную роль, их можно исключить и свести данную систему к системе из n уравнений, относительно n неизвестных – координат точки х.